Khái niệm Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Dạng tổng quát, định nghĩa nghiệm $(x_0; y_0; z_0)$ và ý nghĩa hình học của hệ trong không gian 3 chiều
Mục tiêu bài học
Nhận biết phương trình bậc nhất ba ẩn và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; kiểm tra một bộ số $(x_0; y_0; z_0)$ có phải là nghiệm của hệ; hiểu ý nghĩa hình học của hệ 3 ẩn là sự tương giao của 3 mặt phẳng trong không gian.
1. Khái niệm Phương trình & Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát:
$$ax + by + cz = d$$
trong đó $x, y, z$ là ba ẩn; $a, b, c, d$ là các hệ số đã cho, với $a, b, c$ không đồng thời bằng $0$ ($a^2 + b^2 + c^2 > 0$).
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát:
Một bộ ba số thực $(x_0; y_0; z_0)$ được gọi là nghiệm của hệ nếu nó đồng thời thỏa mãn cả ba phương trình trên.
2. Ý nghĩa hình học trong không gian ba chiều
Trong không gian toạ độ $Oxyz$, mỗi phương trình bậc nhất ba ẩn $ax + by + cz = d$ biểu diễn một mặt phẳng. Do đó, việc tìm nghiệm của hệ 3 phương trình 3 ẩn tương đương với việc xác định vị trí tương đối của 3 mặt phẳng $(\alpha_1), (\alpha_2), (\alpha_3)$:
Ba mặt phẳng cùng cắt nhau tại đúng một điểm duy nhất $M_0(x_0; y_0; z_0)$.
Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng chung, hoặc trùng nhau.
Ba mặt phẳng đôi một song song, hoặc giao tuyến của từng cặp mặt phẳng song song với nhau.
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc nhất ba ẩn?
Bộ ba số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$?
Ý nghĩa hình học của một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có nghiệm duy nhất là:
Nếu một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai phương trình mâu thuẫn nhau (ví dụ: $x + y + z = 1$ và $x + y + z = 5$) thì hệ đó: