Phép biến hình và Phép tịnh tiến
Định nghĩa phép biến hình, tính chất bảo toàn khoảng cách và biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Mục tiêu bài học
Nắm vững định nghĩa phép biến hình, phép đồng nhất; hiểu rõ bản chất phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$; thành thạo biểu thức toạ độ và phương pháp tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép tịnh tiến.
1. Khái niệm Phép biến hình trong mặt phẳng
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất $M'$ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Kí hiệu phép biến hình là $F$, ta viết: $F(M) = M'$, trong đó $M'$ gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình $F$.
- Nếu hình $H$ là tập hợp các điểm $M$, thì tập hợp các điểm $M' = F(M)$ với mọi $M \in H$ gọi là ảnh của hình $H$ qua phép biến hình $F$, kí hiệu $H' = F(H)$.
- Phép đồng nhất (Identity transformation): Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính nó được gọi là phép đồng nhất, kí hiệu là $Id$.
2. Định nghĩa và Tính chất của Phép tịnh tiến
Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ $\vec{v}$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$, kí hiệu là $T_{\vec{v}}$, là phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho:
$$\vec{MM'} = \vec{v}$$
• Vectơ $\vec{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến. Khi $\vec{v} = \vec{0}$, phép tịnh tiến $T_{\vec{0}}$ chính là phép đồng nhất $Id$.
Tính chất 1: Bảo toàn khoảng cách
Nếu $T_{\vec{v}}(M) = M'$ và $T_{\vec{v}}(N) = N'$ thì $\vec{M'N'} = \vec{MN}$, suy ra $M'N' = MN$. Do đó phép tịnh tiến là một phép dời hình.
Tính chất 2: Bảo toàn hình dạng
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Biểu thức toạ độ của Phép tịnh tiến & Phương pháp giải toán
Trong hệ toạ độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{v} = (a; b)$ và điểm $M(x; y)$. Điểm $M'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M)$ có toạ độ thoả mãn:
Quy tắc tìm ảnh của đường thẳng và đường tròn:
1. Tìm ảnh của đường thẳng $d: Ax + By + C = 0$: Đường thẳng $d'$ song song hoặc trùng với $d$ nên có dạng $Ax + By + C' = 0$. Chọn một điểm $M \in d$, tìm ảnh $M' = T_{\vec{v}}(M)$ rồi thay toạ độ $M'$ vào $d'$ để tìm $C'$. Hoặc sử dụng phương pháp thế: thay $x = x' - a$, $y = y' - b$ vào phương trình $d$.
2. Tìm ảnh của đường tròn $(C): (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$: Đường tròn $(C')$ có cùng bán kính $R' = R$, tâm $I'(x_0'; y_0') = T_{\vec{v}}(I)$, tức là $x_0' = x_0 + a$, $y_0' = y_0 + b$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $M(2; -5)$ và vectơ $\vec{v} = (-3; 4)$. Toạ độ điểm $M'$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ là:
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: 2x - 3y + 5 = 0$. Ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (1; -2)$ có phương trình là:
Cho đường tròn $(C): (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v} = (3; -1)$ biến $(C)$ thành đường tròn $(C')$ có phương trình:
Khẳng định nào sau đây là **sai** khi nói về phép tịnh tiến?