|
CodeHub
Chuẩn Chương trình GDPT 2018 — Sách Chuyên đề học tập Toán 12 KNTT

Chuyên Đề Học Tập Toán 12

Cấu trúc theo Chuyên đề học tập Toán 12 – Kết nối tri thức với cuộc sống: 3 chuyên đề, 7 bài.

Toán học ứng dụng & Tài chính định lượng hiện đại: Bài toán tối ưu hóa & Quy hoạch tuyến tính (Phương pháp hình học, đạo hàm kinh tế biên), Toán tài chính (Lãi kép, Niên kim, Vay trả góp, NPV và IRR), Biến ngẫu nhiên rời rạc & Phân bố nhị thức (Kỳ vọng, phương sai, quản trị rủi ro) và Dự án Capstone danh mục đầu tư.

12 Bài học
Chuẩn SGK Chuyên đề
48 Trắc nghiệm
Lời giải chi tiết
Toán Tài Chính
NPV, IRR, Niên kim
1 Capstone Project
Danh mục đầu tư & Rủi ro
Chuyển nhanh đến: CĐ1: Tối ưu hóa (Bài 1-3) CĐ2: Toán tài chính (Bài 4-7) CĐ3: Biến ngẫu nhiên (Bài 8-11) CĐ4: Dự án Capstone (Bài 12)
Chuyên đề 1 • 3 bài học

Chuyên đề 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Quy hoạch tuyến tính hai ẩn và phương pháp đỉnh đa giác lồi; Vận dụng đạo hàm tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí biên và doanh thu biên trong kinh tế; Tối ưu hóa kích thước bao bì hình học không gian (vỏ lon, hộp tôn thể tích cực đại) và nguyên lý Fermat.

Bài 8 Xác suất nâng cao
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc & Phân bố xác suất

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững định nghĩa biến ngẫu nhiên (Random Variable) và phân biệt Biến ngẫu nhiên rời rạc với Biến ngẫu nhiên liên tục.
  • Lập Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc: các giá trị $x_1, x_2, \dots, x_n$ và xác suất tương ứng $p_i = P(X = x_i)$.
  • Nắm vững điều kiện chuẩn hóa bắt buộc của phân bố xác suất: $p_i \ge 0$ và $\sum_{i=1}^n p_i = 1$.
  • Làm quen với Hàm phân bố xác suất tích lũy $F(x) = P(X \le x)$ và ứng dụng tính xác suất trong các khoảng giá trị.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Biến ngẫu nhiên rời rạc

  • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên $X$ là một đại lượng nhận giá trị bằng số tùy thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên.
  • Rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể nhận của $X$ là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (ví dụ: số chấm xuất hiện khi gieo xúc xắc, số phế phẩm trong lô hàng).
  • Khác với liên tục: Biến liên tục nhận giá trị trên một khoảng thực liên tục (ví dụ: chiều cao, cân nặng, nhiệt độ).

Bảng phân bố xác suất

  • Cấu trúc bảng:
    - Hàng 1: Các giá trị có thể có: $x_1 < x_2 < \dots < x_n$.
    - Hàng 2: Xác suất tương ứng: $p_1, p_2, \dots, p_n$ với $p_i = P(X = x_i)$.
  • Điều kiện chuẩn hóa: $$0 \le p_i \le 1 \quad \text{và} \quad \sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$$
  • Hàm tích lũy: $F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} p_i$.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Xác định không gian mẫu và tập giá trị của X

Mô tả không gian mẫu $\Omega$ của phép thử. Liệt kê tất cả các giá trị số thực mà biến ngẫu nhiên $X$ có thể nhận: $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.

Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho từng giá trị

Dùng các quy tắc đếm tổ hợp hoặc xác suất cổ điển để tính $p_i = P(X = x_i)$ với từng giá trị $x_i$.

Bước 3: Lập bảng phân bố và kiểm tra điều kiện tổng xác suất

Kẻ bảng phân bố hai hàng. Cộng tổng các xác suất $\sum p_i$; nếu tổng đúng bằng 1 thì bảng phân bố chính xác hoàn toàn.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi $X$ là số đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N).
1) Tìm tập các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên $X$.
2) Lập bảng phân bố xác suất của $X$.
3) Tính xác suất để có ít nhất 2 đồng xu ngửa $P(X \ge 2)$.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Biến ngẫu nhiên nào sau đây là biến ngẫu nhiên RỜI RẠC?

Câu 2 Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất: P(X=1) = 0.2; P(X=2) = 0.5; P(X=3) = m. Giá trị của m phải bằng bao nhiêu?

Câu 3 Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện. Xác suất P(X > 4) bằng:

Câu 4 Một hộp có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Gọi X là số quả bóng đỏ lấy được. Tập giá trị của X là:

Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 9 Xác suất nâng cao
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 9: Các số đặc trưng: Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc & Phân bố xác suất

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa thực tế của Kỳ vọng toán học $E(X)$: giá trị trung bình theo trọng số xác suất.
  • Làm chủ công thức tính Kỳ vọng: $E(X) = \mu = \sum_{i=1}^n x_i p_i$ và các tính chất: $E(c) = c, E(aX + b) = aE(X) + b$.
  • Nắm vững công thức tính Phương sai: $V(X) = \sigma^2 = \sum x_i^2 p_i - [E(X)]^2$ và Độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
  • Hiểu rõ phương sai và độ lệch chuẩn đo lường mức độ biến động phân tán, rủi ro trong đầu tư tài chính và kiểm soát chất lượng.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Kỳ vọng toán học E(X)

  • Công thức: $$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \sum_{i=1}^n x_i p_i$$
  • Ý nghĩa: Là giá trị trung bình lý thuyết khi lặp lại phép thử vô số lần độc lập. Trong kinh doanh, là lợi nhuận kỳ vọng của dự án.
  • Tính chất tuyến tính: Với hằng số $a, b$: $$E(aX + b) = aE(X) + b \quad \text{và} \quad E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

Phương sai V(X) & Độ lệch chuẩn

  • Phương sai (Variance): Đo mức độ phân tán của các giá trị quanh giá trị kỳ vọng: $$V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 p_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - [E(X)]^2$$
  • Tính chất: $V(c) = 0$ và $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
  • Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên $X$). $\sigma$ càng lớn thể hiện mức độ rủi ro, bấp bênh càng cao.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Lập bảng phân bố xác suất hoàn chỉnh

Liệt kê các giá trị $x_i$ và xác suất $p_i$. Kiểm tra điều kiện $\sum p_i = 1$.

Bước 2: Tính kỳ vọng toán học E(X)

Nhân từng giá trị $x_i$ với xác suất tương ứng $p_i$ rồi cộng lại: $E(X) = \sum x_i p_i$.

Bước 3: Tính phương sai V(X) và độ lệch chuẩn

Tính $\sum x_i^2 p_i$. Sau đó áp dụng công thức $V(X) = \sum x_i^2 p_i - [E(X)]^2$. Lấy căn bậc hai để được độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Một nhà đầu tư xem xét hai phương án đầu tư tài chính A và B với tỷ suất sinh lời (%) được mô tả qua bảng phân bố xác suất sau:
- Dự án A: Lời 20% (xác suất 0.5); Lời 10% (xác suất 0.5).
- Dự án B: Lời 40% (xác suất 0.3); Lời 10% (xác suất 0.4); Lỗ -10% (xác suất 0.3).
Hãy tính tỷ suất sinh lời kỳ vọng và độ lệch chuẩn của từng dự án để tư vấn cho nhà đầu tư thích an toàn.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0 với xác suất 0.4 và nhận giá trị 10 với xác suất 0.6. Kỳ vọng E(X) bằng:

Câu 2 Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng $E(X) = 4$ và phương sai $V(X) = 2$, thì phương sai của biến ngẫu nhiên $Y = 3X + 5$ là bao nhiêu?

Câu 3 Trong quản lý tài chính và đầu tư chứng khoán, chỉ số nào thường được sử dụng để định lượng MỨC ĐỘ RỦI RO của một danh mục đầu tư?

Câu 4 Biến ngẫu nhiên X có $E(X) = 5$ và $E(X^2) = 29$. Phương sai $V(X)$ bằng bao nhiêu?

Bài 10 Xác suất nâng cao
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc & Phân bố xác suất

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững định nghĩa phép thử Bernoulli: phép thử chỉ có đúng 2 kết cục đối lập (Thành công $S$ với xác suất $p$, Thất bại $F$ với xác suất $q = 1 - p$).
  • Làm chủ mô hình phân bố nhị thức $\mathcal{B}(n, p)$: thực hiện $n$ phép thử Bernoulli độc lập, gọi $X$ là số lần thành công.
  • Thực hiện thành thạo Công thức Bernoulli tính xác suất có đúng $k$ lần thành công: $P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$.
  • Ghi nhớ và vận dụng các công thức số đặc trưng: $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$ và $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Phép thử Bernoulli & Phân bố nhị thức

  • Điều kiện dãy phép thử Bernoulli:
    1. Có $n$ lần thử lặp lại.
    2. Mỗi lần thử chỉ có 2 kết quả: Thành công ($p$) hoặc Thất bại ($q = 1 - p$).
    3. Xác suất $p$ không đổi qua tất cả các lần thử.
    4. Các lần thử hoàn toàn độc lập với nhau.
  • Biến ngẫu nhiên nhị thức: Kí hiệu $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, nhận các giá trị $k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}$.

Công thức Bernoulli & Số đặc trưng

  • Công thức Bernoulli: $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (k = 0, 1, \dots, n)$$
  • Kỳ vọng toán học: $E(X) = n \cdot p$.
  • Phương sai: $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$.
  • Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Nhận diện mô hình phân bố nhị thức

Kiểm tra 4 điều kiện của dãy phép thử Bernoulli. Xác định số lần thử $n$ và xác suất thành công $p$ trong mỗi lần thử.

Bước 2: Xác định biến cố cần tính xác suất

Đọc kỹ yêu cầu bài toán: đúng $k$ lần ($X = k$), ít nhất $k$ lần ($X \ge k$) hay nhiều nhất $k$ lần ($X \le k$). Sử dụng biến cố đối nếu số trường hợp quá nhiều.

Bước 3: Áp dụng công thức và tính toán

Bấm tổ hợp $C_n^k$, lũy thừa $p^k$ và $(1 - p)^{n - k}$ trên máy tính cầm tay (sử dụng chức năng phân bố nhị thức Binomial PD / CD trên Casio fx-580VN X).

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Tỷ lệ một loại hạt giống nảy mầm là $p = 0.8$. Người ta đem gieo ngẫu nhiên 10 hạt giống một cách độc lập. Gọi $X$ là số hạt nảy mầm.
1) Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân bố gì? Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $X$.
2) Tính xác suất để có đúng 8 hạt nảy mầm.
3) Tính xác suất để có ít nhất 9 hạt nảy mầm.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất 5 lần liên tiếp. Xác suất để có đúng 3 lần xuất hiện mặt ngửa là:

Câu 2 Biến ngẫu nhiên $X$ có phân bố nhị thức $\mathcal{B}(100; 0.2)$. Kỳ vọng $E(X)$ và phương sai $V(X)$ của $X$ lần lượt là:

Câu 3 Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn và chỉ có 1 phương án đúng. Một thí sinh chọn hoàn toàn ngẫu nhiên. Số câu trả lời đúng kỳ vọng của thí sinh đó là:

Câu 4 Đại lượng nào sau đây KHÔNG THỂ mô hình hóa bằng phân bố nhị thức?

Chuyên đề 2 • 4 bài học

Chuyên đề 2: Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu

Lãi suất đơn, lãi kép, quy tắc 72 và giá trị thời gian của tiền (TVM); Niên kim tích lũy định kỳ (Annuity); Bài toán vay vốn trả góp niên kim và bảng phân bổ nợ vay; Thẩm định dự án đầu tư tài chính với chỉ số NPV và tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR.

Bài 1 Quy hoạch tuyến tính
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải quyết bài toán tối ưu

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững định nghĩa dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính hai ẩn: tìm GTLN hoặc GTNN của hàm mục tiêu $F(x, y) = ax + by + c$ trên miền đa giác nghiệm.
  • Làm chủ kỹ thuật biểu diễn hình học miền chấp nhận được (Feasible Region) $\mathcal{D}$ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
  • Hiểu rõ Định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính: hàm mục tiêu luôn đạt giá trị tối ưu tại ít nhất một trong các đỉnh của miền đa giác lồi đóng $\mathcal{D}$.
  • Vận dụng quy hoạch tuyến tính giải bài toán thực tế: phân bổ nguyên vật liệu nhà máy, tối ưu khẩu phần dinh dưỡng hoặc tối đa hóa lợi nhuận sản xuất.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Mô hình bài toán & Hàm mục tiêu

  • Biến quyết định: $x, y$ biểu thị số lượng sản phẩm loại I, II cần sản xuất ($x \ge 0, y \ge 0$).
  • Hệ ràng buộc tài nguyên: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả giới hạn về giờ công, nguyên vật liệu, vốn đầu tư.
  • Hàm mục tiêu: $F(x, y) = ax + by + c$ (thường là tổng doanh thu, lợi nhuận hoặc tổng chi phí). Cần tìm $(x, y) \in \mathcal{D}$ để $F$ đạt $\max$ hoặc $\min$.

Phương pháp đỉnh đa giác

  • Miền nghiệm $\mathcal{D}$: Là giao của các nửa mặt phẳng, tạo thành một miền đa giác lồi bị chặn (hoặc không bị chặn).
  • Định lý cực trị: Nếu miền nghiệm $\mathcal{D}$ là một đa giác lồi đóng thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm tuyến tính $F(x, y)$ luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác $\mathcal{D}$.
  • Quy tắc tìm: Tìm tọa độ tất cả các đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_k$ $\rightarrow$ Tính giá trị $F(A_i)$ $\rightarrow$ So sánh để chọn giá trị lớn nhất / nhỏ nhất.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Gọi biến và thiết lập hệ bất phương trình ràng buộc

Đặt ẩn số $x, y$ (kèm điều kiện $x, y \ge 0$). Lập bảng số liệu thống kê chi phí, giờ máy, nguyên liệu để viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm mục tiêu $F(x, y)$.

Bước 2: Vẽ miền nghiệm và xác định tọa độ các đỉnh

Vẽ các đường thẳng biên trên hệ trục $Oxy$. Xác định miền đa giác lồi $\mathcal{D}$ không bị gạch bỏ. Giải các hệ phương trình giao điểm để tìm tọa độ chính xác của các đỉnh đa giác.

Bước 3: Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh và kết luận

Thay tọa độ từng đỉnh vào $F(x, y)$. Giá trị lớn nhất tìm được là $\max F$, giá trị nhỏ nhất là $\min F$. Diễn giải kết quả về mặt kinh tế cho doanh nghiệp.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất 1 kg loại A cần 2 giờ máy và 1 kg nguyên liệu, lãi 40 nghìn đồng. Để sản xuất 1 kg loại B cần 1 giờ máy và 2 kg nguyên liệu, lãi 30 nghìn đồng. Xưởng có tối đa 80 giờ máy và 100 kg nguyên liệu. Hãy lập kế hoạch sản xuất để xưởng thu được lợi nhuận cao nhất.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Theo định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính, nếu miền chấp nhận được D là một đa giác lồi đóng, thì giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu $F(x, y) = ax + by$ luôn đạt được tại:

Câu 2 Hàm mục tiêu $F(x, y) = 3x + 2y$ trên miền đa giác có các đỉnh $A(0; 0), B(4; 0), C(2; 3), D(0; 4)$ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 3 Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$ là một hình phẳng có dạng:

Câu 4 Trong quy hoạch tuyến tính, nếu đường mức của hàm mục tiêu song song với một cạnh của miền đa giác nghiệm thì:

Bài 2 Đạo hàm kinh tế
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải quyết bài toán tối ưu

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững các hàm số kinh tế cơ bản: Hàm tổng chi phí $C(x)$, hàm doanh thu $R(x) = p(x) \cdot x$, hàm lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$.
  • Hiểu rõ ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: Chi phí biên $C'(x)$ (Marginal Cost) và Doanh thu biên $R'(x)$ (Marginal Revenue).
  • Làm chủ nguyên lý tối ưu hóa lợi nhuận: Lợi nhuận cực đại khi $P'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$ (doanh thu biên bằng chi phí biên).
  • Vận dụng đạo hàm tìm mức giá bán tối ưu $p$, sản lượng tối ưu $x$ và khảo sát bài toán đánh thuế của nhà nước lên doanh nghiệp.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Các hàm số kinh tế & Đạo hàm biên

  • Chi phí biên $C'(x)$: Là chi phí phát sinh xấp xỉ khi doanh nghiệp sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm thứ $x + 1$.
  • Doanh thu biên $R'(x)$: Là doanh thu tăng thêm khi bán thêm 1 đơn vị sản phẩm thứ $x + 1$.
  • Hàm cầu $p = D(x)$: Mối quan hệ giữa giá bán $p$ và lượng cầu $x$ của thị trường (thường là hàm nghịch biến: giá càng cao, lượng mua càng giảm).

Điều kiện tối ưu hóa lợi nhuận

  • Hàm lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x) = x \cdot p(x) - C(x)$.
  • Điều kiện cần cực đại: $P'(x) = R'(x) - C'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$.
  • Ý nghĩa kinh tế: Doanh nghiệp nên tiếp tục mở rộng sản xuất chừng nào doanh thu tăng thêm vẫn lớn hơn chi phí phát sinh ($R' > C'$); và dừng lại tại mức sản lượng mà $R' = C'$.
  • Chi phí trung bình: $AC(x) = \frac{C(x)}{x}$. Chi phí trung bình nhỏ nhất tại điểm mà $AC'(x) = 0 \Leftrightarrow C'(x) = AC(x)$.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Thiết lập biểu thức hàm mục tiêu lợi nhuận hoặc chi phí

Xác định hàm cầu $p(x)$ và hàm tổng chi phí $C(x)$. Lập hàm doanh thu $R(x) = x \cdot p(x)$ và hàm lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$ trên khoảng sản lượng $x > 0$.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng

Tính đạo hàm bậc nhất $P'(x) = R'(x) - C'(x)$. Giải phương trình $P'(x) = 0$ để tìm các nghiệm dương $x_0$ khả thi.

Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc kiểm tra đạo hàm bậc hai

Kiểm tra dấu của $P'(x)$ qua $x_0$ (hoặc kiểm tra $P''(x_0) < 0$) để khẳng định hàm số đạt cực đại toàn cục tại $x_0$. Tính mức giá tối ưu $p(x_0)$ và lợi nhuận tối đa.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Một công ty sản xuất độc quyền có hàm cầu $p = 120 - 0.02x$ (đơn vị: nghìn đồng) và hàm tổng chi phí $C(x) = 20000 + 40x + 0.01x^2$ (nghìn đồng).
1) Tìm sản lượng $x$ để lợi nhuận của công ty đạt giá trị lớn nhất.
2) Xác định giá bán $p$ và lợi nhuận tối đa tương ứng.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Trong kinh tế học vi mô, doanh nghiệp độc quyền đạt lợi nhuận tối đa khi thỏa mãn điều kiện biên nào sau đây?

Câu 2 Cho hàm tổng chi phí $C(x) = 100 + 5x + 0.1x^2$. Chi phí biên tại mức sản lượng $x = 20$ là bao nhiêu?

Câu 3 Hàm cầu của một sản phẩm là $p = 100 - x$. Hàm doanh thu $R(x)$ đạt giá trị cực đại tại mức sản lượng nào?

Câu 4 Khi chi phí trung bình $AC(x) = \frac{C(x)}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất, mối quan hệ giữa chi phí biên $C'(x)$ và chi phí trung bình là gì?

Vận dụng đạo hàm trong các bài toán hình học và kĩ thuật

Bài 3 Tối ưu hình học
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 3: Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hình học & kỹ thuật

Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải quyết bài toán tối ưu

Mục tiêu cần đạt

  • Làm chủ phương pháp xây dựng hàm mục tiêu một biến $f(x)$ cho các bài toán tối ưu hình học và kỹ thuật công nghiệp.
  • Tìm thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật, hình trụ, hình nón khi cho trước diện tích vật liệu.
  • Tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất (tiết kiệm vật liệu vỏ hộp kim loại/nhựa) khi cho trước dung tích thể tích $V_0$.
  • Ứng dụng đạo hàm giải bài toán định tuyến đường ống tối ưu chi phí, bài toán phản xạ ánh sáng (Định luật Fermat) và khúc xạ quang học.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Bài toán thiết kế bao bì & Thể tích

  • Cắt góc làm hộp: Tấm tôn hình chữ nhật kích thước $a \times b$, cắt 4 góc vuông cạnh $x$ để gập thành hộp không nắp. Thể tích $V(x) = x(a - 2x)(b - 2x)$ với $0 < x < \frac{\min(a, b)}{2}$.
  • Lon nước ngọt hình trụ: Thể tích cố định $V_0 = \pi r^2 h \Rightarrow h = \frac{V_0}{\pi r^2}$. Diện tích toàn phần (chi phí vỏ lon) $S_{tp}(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{2V_0}{r}$. Đạt cực tiểu khi chiều cao bằng đường kính đáy: $h = 2r$.

Bài toán kỹ thuật & Đường đi ngắn nhất

  • Dẫn ống dầu: Nối từ trạm khoan $S$ ngoài khơi qua điểm $P(x)$ trên bờ rồi dẫn đường bộ về nhà máy $M$. Tổng chi phí $C(x) = k_1 \sqrt{d_1^2 + x^2} + k_2(L - x)$ với đơn giá ngầm biển $k_1$ lớn hơn đơn giá đất liền $k_2$.
  • Nguyên lý Fermat: Ánh sáng truyền giữa hai điểm theo quỹ đạo tốn ít thời gian nhất. Đạo hàm hàm thời gian $T(x) = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}$ cho ra Định luật khúc xạ ánh sáng Snell: $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Chọn ẩn số và thiết lập miền xác định

Chọn một kích thước hình học làm ẩn biến $x$ (ví dụ: bán kính đáy $r$, chiều cao $h$, hoặc cạnh cắt $x$). Tìm điều kiện hình học để xác định khoảng biến thiên $x \in (a, b)$.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo x

Dùng các định lý hình học (Pythagore, Thales, hệ thức lượng, công thức diện tích/thể tích) để biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm số một biến $f(x)$.

Bước 3: Khảo sát cực trị bằng đạo hàm

Tính đạo hàm $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ trên miền xác định. Lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất / nhỏ nhất và tính kích thước hình học tối ưu tương ứng.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Người ta muốn thiết kế một vỏ lon sữa đặc hình trụ kín có thể tích không đổi $V = 314\text{ cm}^3$ (lấy $\pi \approx 3.14$). Hãy tìm bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của vỏ lon để lượng tôn kim loại dùng làm vỏ lon là ít nhất.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Một lon nước ngọt hình trụ kín có thể tích cố định $V_0$. Để diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất (tiết kiệm kim loại nhất), tỉ số giữa chiều cao h và bán kính đáy r phải bằng:

Câu 2 Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, người ta cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ cạnh x ở 4 góc rồi gập thành một hộp chữ nhật không nắp. Thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất khi x bằng:

Câu 3 Một hàng rào dài 100 m được dùng để rào một khu vườn hình chữ nhật tựa vào một bờ tường thẳng có sẵn (chỉ cần rào 3 cạnh). Diện tích lớn nhất của khu vườn rào được là:

Câu 4 Nguyên lý Fermat trong quang học khẳng định rằng ánh sáng truyền giữa hai điểm theo con đường:

Chuyên đề 3 • 4 bài học

Chuyên đề 3: Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính

Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân bố xác suất; Các số đặc trưng: Kỳ vọng toán học E(X), Phương sai V(X) và Độ lệch chuẩn; Dãy phép thử Bernoulli và phân bố nhị thức; Ứng dụng định phí bảo hiểm thuần, luật số lớn và quản trị rủi ro.

Bài 4 Toán tài chính
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 5: Tiền tệ. Lãi suất

Chuyên đề 2: Ứng dụng toán học trong tài chính

Mục tiêu cần đạt

  • Phân biệt bản chất của Lãi đơn (Simple Interest) và Lãi kép (Compound Interest).
  • Làm chủ công thức lãi kép: $S = P(1 + r)^n$, lãi kép ghép lãi $m$ kỳ mỗi năm $S = P\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}$ và lãi kép liên tục $S = P \cdot e^{rt}$.
  • Nắm vững nguyên lý Giá trị thời gian của tiền (Time Value of Money - TVM): Giá trị hiện tại $PV$ và Giá trị tương lai $FV = PV(1 + r)^n$.
  • Hiểu tác động của lạm phát, phân biệt Lãi suất danh nghĩa và Lãi suất thực tế theo phương trình Fisher: $1 + r_{\text{thực}} = \frac{1 + r_{\text{danh nghĩa}}}{1 + i}$.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Lãi đơn vs Lãi kép

  • Lãi đơn: Tiền lãi chỉ tính trên vốn gốc ban đầu: $I = P \cdot r \cdot t \Rightarrow S = P(1 + r \cdot t)$.
  • Lãi kép (Kỳ quan thứ 8): Tiền lãi của kỳ trước được cộng dồn vào gốc để tính lãi cho kỳ tiếp theo: $$FV = PV(1 + r)^n$$
  • Ghép lãi $m$ lần/năm: Với lãi suất năm $r$, ghép lãi $m$ kỳ/năm trong $t$ năm: $FV = PV\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mt}$.
  • Quy tắc 72: Thời gian để số tiền nhân đôi xấp xỉ bằng $\frac{72}{r(\%)}$.

Giá trị hiện tại (PV) & Lạm phát

  • Chiết khấu dòng tiền: 1 đồng hôm nay có giá trị cao hơn 1 đồng trong tương lai vì khả năng sinh lời. Giá trị hiện tại: $$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$
  • Lạm phát: Làm giảm sức mua của đồng tiền theo thời gian theo cấp số nhân: $P_n = P_0(1 + i)^n$.
  • Phương trình Fisher: Lãi suất thực sau khi trừ lạm phát: $$r_{\text{thực}} \approx r_{\text{danh nghĩa}} - i$$

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Xác định vốn gốc, lãi suất và chu kỳ ghép lãi

Xác định vốn ban đầu $P$, lãi suất danh nghĩa năm $r$ và số kỳ ghép lãi trong năm $m$ (hàng năm $m=1$, quý $m=4$, tháng $m=12$). Tính lãi suất mỗi kỳ $i = \frac{r}{m}$ và tổng số kỳ $n = m \times t$.

Bước 2: Áp dụng công thức lãi kép hoặc chiết khấu hiện tại

Nếu tính tiền nhận được trong tương lai: áp dụng $FV = PV(1 + i)^n$. Nếu tính số tiền cần đầu tư hiện tại để đạt mục tiêu tương lai: áp dụng $PV = \frac{FV}{(1 + i)^n}$.

Bước 3: Hiệu chỉnh theo lạm phát để đánh giá sức mua thực tế

Tính giá trị thực tế sau khi loại trừ tỷ lệ lạm phát để đưa ra quyết định đầu tư an toàn và hiệu quả.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Ông Nam gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép, kỳ hạn ghép lãi theo tháng ($m = 12$).
1) Hỏi sau 5 năm, ông Nam nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu tiền?
2) Nếu tỷ lệ lạm phát bình quân là 3.5%/năm trong suốt thời gian đó, sức mua thực tế của số tiền sau 5 năm tương đương bao nhiêu tiền tại thời điểm hiện tại?

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm, lãi kép tính hàng năm. Sau 3 năm, tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) người đó nhận được xấp xỉ bằng:

Câu 2 Theo Quy tắc 72, với mức lãi suất kép 8%/năm, sau khoảng bao nhiêu năm thì số tiền tiết kiệm ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Câu 3 Nếu tỷ lệ lạm phát hàng năm là 4%, sau 10 năm sức mua của một món hàng trị giá 100 triệu đồng hiện nay sẽ tăng thành bao nhiêu tiền?

Câu 4 Giá trị hiện tại PV của một khoản tiền 133.1 triệu đồng nhận được sau 3 năm với tỷ suất chiết khấu 10%/năm là:

Bài 6 Toán tài chính
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 6: Tín dụng. Vay nợ

Chuyên đề 2: Ứng dụng toán học trong tài chính

Mục tiêu cần đạt

  • Hiểu rõ bản chất tài chính của hình thức vay trả góp (Amortized Loan): cân bằng giữa số tiền vay ban đầu và giá trị hiện tại của chuỗi trả nợ định kỳ.
  • Làm chủ công thức tính số tiền phải trả đều đặn mỗi tháng: $A = V_0 \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}$.
  • Lập được Bảng phân bổ nợ vay (Amortization Schedule): phân tách mỗi khoản thanh toán $A$ thành phần tiền lãi phát sinh $I_k$ và phần trừ nợ gốc $P_k$.
  • Phân tích tác động của thời hạn vay và lãi suất đến tổng tiền lãi phải trả khi mua nhà trả góp hoặc mua ô tô.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Công thức trả góp niên kim

  • Nguyên tắc cân bằng tài chính: Khoản tiền vay $V_0$ tại thời điểm $t = 0$ phải bằng tổng giá trị hiện tại ($PV$) của $n$ khoản trả góp định kỳ $A$: $$V_0 = A \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$$
  • Số tiền trả cố định mỗi kỳ ($A$): $$A = V_0 \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}} = V_0 \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}$$
  • Tổng số tiền đã trả: $n \times A$. Tổng lãi phải trả cho ngân hàng: $n \times A - V_0$.

Bảng phân bổ nợ vay (Amortization)

  • Tại mỗi kỳ $k$:
    - Tiền lãi kỳ $k$: $I_k = \text{Dư nợ đầu kỳ } k \times r$.
    - Tiền gốc kỳ $k$: $P_k = A - I_k$.
    - Dư nợ cuối kỳ $k$: $\text{Dư nợ đầu} - P_k$.
  • Đặc điểm diễn biến: Trong những kỳ đầu tiên, tiền lãi chiếm tỷ trọng rất lớn, tiền trừ gốc rất ít; càng về các kỳ cuối, tiền lãi giảm dần và tiền trả gốc tăng nhanh.

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Quy đổi lãi suất kỳ hạn và số kỳ thanh toán

Chuyển lãi suất năm sang lãi suất tháng $r = \frac{r_{\text{năm}}}{12}$ và tính tổng số tháng vay $n$ (ví dụ: vay 20 năm thì $n = 240$ tháng).

Bước 2: Tính số tiền trả cố định hàng tháng A

Sử dụng công thức $A = V_0 \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}$. Dùng máy tính cầm tay tính toán chính xác giá trị $A$.

Bước 3: Lập bảng tính dư nợ theo từng tháng

Tính tiền lãi tháng đầu tiên $I_1 = V_0 \cdot r$, tiền gốc tháng đầu $P_1 = A - I_1$, dư nợ còn lại sau tháng đầu $V_1 = V_0 - P_1$. Lặp lại quy trình cho các tháng kế tiếp.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Gia đình anh Hùng vay ngân hàng 600 triệu đồng để mua nhà với thời hạn 5 năm (60 tháng), lãi suất cố định 9%/năm (tức 0.75%/tháng) tính theo dư nợ giảm dần, trả góp đều đặn hàng tháng.
1) Tính số tiền anh Hùng phải trả cố định mỗi tháng.
2) Lập bảng phân tích nợ cho 3 tháng đầu tiên và tính tổng tiền lãi phải trả sau 5 năm.

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng, trả góp đều đặn trong 12 tháng. Số tiền người đó phải trả mỗi tháng A được tính theo công thức nào?

Câu 2 Trong phương thức vay trả góp niên kim cố định đều đặn hàng tháng (Amortization), nhận định nào sau đây là ĐÚNG về diễn biến của tiền lãi và tiền gốc?

Câu 3 Nếu vay 500 triệu đồng trong 10 năm với mức trả cố định 6.5 triệu đồng/tháng, tổng số tiền lãi người vay phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ 10 năm là:

Câu 4 Tại kỳ thanh toán đầu tiên của khoản vay vốn V0 với lãi suất mỗi kỳ là r, số tiền lãi phải nộp bằng:

Lập kế hoạch tài chính cá nhân

Xác định mục tiêu tài chính dài hạn, thời gian thực hiện, số tiền cần có; ước lượng khả năng tiết kiệm định kỳ và lựa chọn phương án đầu tư phù hợp. Sử dụng lãi kép và niên kim để tính số tiền tích lũy, từ đó điều chỉnh mức gửi hoặc thời gian thực hiện kế hoạch.

Bài 5 Toán tài chính
Thời lượng: 45 phút học tập

Bài 7: Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

Chuyên đề 2: Ứng dụng toán học trong tài chính

Mục tiêu cần đạt

  • Nắm vững khái niệm Niên kim (Annuity): chuỗi các khoản tiền bằng nhau phát sinh định kỳ cách đều nhau.
  • Phân biệt Niên kim thông thường (Ordinary Annuity - gửi cuối kỳ) và Niên kim đầu kỳ (Annuity Due).
  • Làm chủ công thức tính Giá trị tương lai của niên kim gửi cuối kỳ: $FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$.
  • Ứng dụng tính toán kế hoạch tích lũy tài chính cá nhân: tiết kiệm mua nhà, lập quỹ hưu trí và học phí đại học cho con.

1. Kiến thức trọng tâm & Định lý toán học

Niên kim thông thường (Gửi cuối kỳ)

  • Định nghĩa: Cuối mỗi kỳ (tháng/năm), gửi vào ngân hàng một số tiền cố định là $A$ với lãi suất mỗi kỳ là $r$.
  • Cơ chế dồn lãi: Khoản tiền gửi kỳ đầu tiên được tính lãi trong $n - 1$ kỳ; khoản cuối cùng gửi vào cuối kỳ thứ $n$ không sinh lãi.
  • Tổng giá trị tương lai (FV): Là tổng cấp số nhân có công bội $q = 1 + r$: $$FV = A + A(1 + r) + \dots + A(1 + r)^{n-1} = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$$

Lập quỹ hưu trí & Tích lũy mục tiêu

  • Bài toán đảo: Muốn tích lũy được số tiền mục tiêu $FV$ sau $n$ kỳ, số tiền định kỳ $A$ cần gửi mỗi tháng là: $$A = FV \cdot \frac{r}{(1 + r)^n - 1}$$
  • Niên kim đầu kỳ: Nếu gửi tiền vào đầu mỗi kỳ, mỗi khoản đều sinh lãi thêm đúng 1 kỳ: $$FV_{\text{đầu kỳ}} = FV_{\text{cuối kỳ}} \times (1 + r) = A(1 + r) \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$$

2. Phương pháp giải toán từng bước chi tiết

Bước 1: Xác định số tiền gửi A, lãi suất kỳ r và tổng số kỳ n

Kiểm tra chu kỳ gửi tiền (nếu gửi hàng tháng thì đổi lãi suất năm ra lãi suất tháng $r = \frac{r_{\text{năm}}}{12}$ và tính tổng số tháng $n = 12 \times t$).

Bước 2: Phân loại thời điểm gửi tiền (Đầu kỳ hay Cuối kỳ)

Xác định khoản thanh toán diễn ra vào cuối mỗi tháng hay đầu mỗi tháng để chọn đúng công thức nhân thêm hệ số $(1 + r)$ đối với niên kim đầu kỳ.

Bước 3: Bấm máy tính và kiểm tra tổng tiền lãi phát sinh

Tính $FV$. Lấy $FV$ trừ đi tổng vốn gốc thực tế đã gửi ($n \times A$) để biết chính xác số tiền lãi do lãi kép sinh ra.

3. Bài tập tự luyện & Vận dụng thực tế

Chị Mai dự định sau 10 năm nữa khi về hưu sẽ có một khoản quỹ tiết kiệm trị giá 1 tỷ đồng. Ngân hàng áp dụng lãi suất 6%/năm ghép lãi hàng tháng (tức 0.5%/tháng). Hỏi vào cuối mỗi tháng, chị Mai cần gửi tiết kiệm cố định bao nhiêu tiền?

4. Câu hỏi củng cố & Luyện tập nhanh

4 câu trắc nghiệm

Câu 1 Công thức tính giá trị tương lai FV của một chuỗi niên kim gửi cố định A đồng vào cuối mỗi kỳ trong n kỳ với lãi suất r mỗi kỳ là:

Câu 2 Anh An gửi 5 triệu đồng vào cuối mỗi tháng vào tài khoản tiết kiệm với lãi suất 0.5%/tháng. Sau 2 năm (24 tháng), tổng số tiền anh An nhận được xấp xỉ bằng:

Câu 3 So với niên kim thông thường (gửi tiền cuối kỳ), giá trị tương lai của niên kim đầu kỳ (gửi tiền vào đầu mỗi kỳ):

Câu 4 Số tiền lãi thuần thu được từ một tài khoản tiết kiệm niên kim tích lũy được tính bằng công thức nào?