Khóa Học Toán Học 10 (Trọn Bộ 9 Chương & 27 Bài Học SGK Kết Nối Tri Thức • Mô Hình SVG Trực Quan & Trạng Nguyên 45:00)

Bài 1 Mệnh đề & Tập hợp

Bài 1: Mệnh đề

Bảng chân trị logic: Mệnh đề kéo theo và tương đương Mệnh đề logic

1. Mệnh đề logic và mệnh đề chứa biến

Mệnh đề logic

Là một câu khẳng định có giá trị chân lí xác định: hoặc đúng, hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Các câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề logic.

Kí hiệu mệnh đề

Thường dùng các chữ cái in hoa $P, Q, R, ...$.

Mệnh đề chứa biến

Là câu khẳng định chứa biến số $x, y, ...$ mà tính đúng sai phụ thuộc vào từng giá trị cụ thể của biến trong tập xác định (ví dụ: "$P(n): n$ chia hết cho 3").

Mệnh đề phủ định

Mệnh đề phủ định của $P$ kí hiệu là $\overline{P}$. Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai; nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

2. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo và mệnh đề tương đương

Mệnh đề kéo theo ($P \Rightarrow Q$)

"Nếu $P$ thì $Q$". Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi $P$ đúng mà $Q$ sai; đúng trong tất cả các trường hợp còn lại.

$P$ là điều kiện đủ để có $Q$.
$Q$ là điều kiện cần để có $P$.

Mệnh đề đảo

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$. Mệnh đề đảo không nhất thiết phải đúng khi mệnh đề thuận đúng.

Mệnh đề tương đương ($P \Leftrightarrow Q$)

"P khi và chỉ khi Q" hoặc "P là điều kiện cần và đủ để có Q". Mệnh đề tương đương đúng khi cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.

3. Kí hiệu lượng từ với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)

Lượng từ với mọi ($\forall$)

"$\forall x \in D, P(x)$" đúng khi $P(x)$ đúng với mọi giá trị $x$ thuộc tập $D$. Muốn bác bỏ mệnh đề này chỉ cần tìm một phản ví dụ $x_0 \in D$ sao cho $P(x_0)$ sai.

Lượng từ tồn tại ($\exists$)

"$\exists x \in D, P(x)$" đúng khi có ít nhất một giá trị $x_0 \in D$ làm cho $P(x_0)$ đúng.

Quy tắc phủ định mệnh đề có lượng từ

$\overline{\forall x \in D, P(x)} \equiv \exists x \in D, \overline{P(x)}$.
$\overline{\exists x \in D, P(x)} \equiv \forall x \in D, \overline{P(x)}$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Câu nào dưới đây là một mệnh đề toán học?

Câu 2: Phủ định của mệnh đề: '$\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 - x + 1 > 0$' là mệnh đề nào?

Câu 3: Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Khi nào mệnh đề này nhận giá trị SAI?

Bài 2 Mệnh đề & Tập hợp

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Biểu đồ Ven minh họa các phép toán trên tập hợp: Hợp, Giao, Hiệu Mệnh đề & Tập hợp

1. Khái niệm tập hợp và các tập hợp số

Tập hợp và phần tử

Nếu phần tử $x$ thuộc tập hợp $A$, viết $x \in A$; nếu không thuộc, viết $x \notin A$.

Cách mô tả tập hợp

Liệt kê các phần tử trong dấu ngoặc nhọn $\{a; b; c\}$ hoặc nêu tính chất đặc trưng $\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\}$.

Tập con và hai tập hợp bằng nhau

$A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B)$.
$A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B \text{ và } B \subseteq A)$.

Tập rỗng

Tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là $\varnothing$. Với mọi tập $A$, ta luôn có $\varnothing \subseteq A$.

Các tập hợp con của số thực $\mathbb{R}$

Khoảng: $(a; b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$; $(a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$.
Đoạn: $[a; b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$.
Nửa khoảng: $[a; b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$; $(a; b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$.

2. Các phép toán trên tập hợp

Phép hợp (Union)

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$$

Phép giao (Intersection)

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \in B\}$$

Phép hiệu (Difference)

$$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \notin B\}$$

Phần bù trong tập vũ trụ (Complement)

Khi $A \subseteq U$, phần bù của $A$ trong $U$ kí hiệu là $C_U A = U \setminus A$.

Công thức đếm số phần tử của hai tập hữu hạn

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{3; 4; 5; 6\}$. Hợp $A \cup B$ là tập hợp nào?

Câu 2: Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{3; 4; 5\}$. Hiệu $A \setminus B$ là:

Câu 3: Giao của hai khoảng $(-2; 4)$ và $[1; 6)$ trên trục số thực là:

Bài 3 BPT Bậc Nhất Hai Ẩn

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≥ 0 trên mặt phẳng tọa độ Nửa mặt phẳng bờ d

1. Dạng tổng quát và nghiệm

Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có một trong các dạng:

$$ax + by + c < 0;\quad ax + by + c \le 0;\quad ax + by + c > 0;\quad ax + by + c \ge 0$$

trong đó $a, b, c$ là các số thực cho trước và $a, b$ không đồng thời bằng 0 ($a^2 + b^2 \ne 0$).

Nghiệm của bất phương trình

Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho khi thay $x = x_0, y = y_0$ ta được một khẳng định đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Đường thẳng $d: ax + by + c = 0$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ $d$.

Bước 1 (Vẽ bờ)

Vẽ đường thẳng $d: ax + by + c = 0$ (vẽ nét đứt nếu bất phương trình ngặt $<, >$; vẽ nét liền nếu có dấu bằng $\le, \ge$).

Bước 2 (Chọn điểm thử)

Lấy một điểm $M(x_0; y_0)$ không thuộc bờ $d$ (thường chọn gốc tọa độ $O(0; 0)$ nếu $c \ne 0$).

Bước 3 (Thử và kết luận)

Tính giá trị biểu thức $T = ax_0 + by_0 + c$:

Nếu $T$ thỏa mãn bất phương trình thì nửa mặt phẳng chứa điểm $M(x_0; y_0)$ là miền nghiệm.
Nếu $T$ không thỏa mãn thì nửa mặt phẳng đối diện (không chứa $M$) là miền nghiệm.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cặp số nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 \le 0$?

Câu 2: Đường thẳng biên $d: 2x - y = 4$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Điểm gốc tọa độ $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào?

Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \ge 0$ bao gồm:

Bài 4 BPT Bậc Nhất Hai Ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài toán tối ưu tuyến tính: Giá trị cực đại và cực tiểu đạt tại đỉnh đa giác Quy hoạch tuyến tính

1. Định nghĩa và cách xác định miền nghiệm

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ.

Quy trình xác định miền nghiệm

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ và gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm.
Phần mặt phẳng không bị gạch bỏ (giao của các miền nghiệm thành phần) chính là miền nghiệm của hệ. Miền nghiệm có thể là một miền đa giác lồi, miền không bị chặn hoặc tập rỗng.

2. Bài toán quy hoạch tuyến tính và giá trị tối ưu

Mục tiêu

Tìm giá trị lớn nhất (Max) hoặc nhỏ nhất (Min) của biểu thức tuyến tính $F(x; y) = ax + by$ với $(x; y)$ thỏa mãn hệ ràng buộc bậc nhất.

Định lí giá trị biên

Nếu miền nghiệm của hệ ràng buộc là một đa giác lồi đóng và bị chặn thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mục tiêu $F(x; y) = ax + by$ luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Quy trình giải bài toán tối ưu thực tế

Bước 1

Đặt ẩn và nêu điều kiện (thường có điều kiện không âm $x \ge 0, y \ge 0$).

Bước 2

Lập hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc về nguyên vật liệu, thời gian, chi phí.

Bước 3

Lập hàm mục tiêu $F(x; y)$ (doanh thu, lợi nhuận, chi phí tối thiểu).

Bước 4

Xác định tọa độ các đỉnh của miền đa giác nghiệm.

Bước 5

Tính giá trị $F$ tại từng đỉnh và kết luận phương án tối ưu.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thông thường là một:

Câu 2: Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mục tiêu $F(x; y) = ax + by$ luôn đạt được tại:

Câu 3: Hệ bất phương trình nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Bài 5 Hệ thức lượng

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Định nghĩa giá trị lượng giác trên nửa đường tròn đơn vị (0° đến 180°) Lượng giác lớp 10

1. Định nghĩa giá trị lượng giác trên nửa đường tròn đơn vị

Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), ta xác định điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị (bán kính $R = 1$) sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$:

$\sin\alpha = y_0$ (tung độ của $M$).
$\cos\alpha = x_0$ (hoành độ của $M$).
$\tan\alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (xác định khi $\alpha \ne 90^\circ$).
$\cot\alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (xác định khi $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$).

2. Dấu và tính chất của giá trị lượng giác

Dấu theo góc

Với mọi $0^\circ < \alpha < 180^\circ$: $\sin\alpha > 0$.
Khi $\alpha$ nhọn ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\cos\alpha > 0, \tan\alpha > 0, \cot\alpha > 0$.
Khi $\alpha = 90^\circ$: $\sin 90^\circ = 1, \cos 90^\circ = 0, \cot 90^\circ = 0$ ($\ an 90^\circ$ không xác định).
Khi $\alpha$ tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\cos\alpha < 0, \tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0$.

Mối quan hệ hai góc bù nhau (tổng bằng 180°)

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$
$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ (với $\alpha \ne 90^\circ$)
$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ (với $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$)
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Giá trị của $\cos 120^\circ$ là bao nhiêu?

Câu 2: Với mọi góc tù $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$, khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

Câu 3: Giá trị của biểu thức $P = \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ$ bằng:

Bài 6 Hệ thức lượng

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác tổng quát: Định lí Côsin, Sin và Công thức Heron Giải tam giác

1. Định lí côsin và hệ quả

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a = BC, b = CA, c = AB$:

Định lí côsin

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A;\quad b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B;\quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Hệ quả tính góc

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc};\quad \cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca};\quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

$$m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4};\quad m_b^2 = \frac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4};\quad m_c^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}$$

2. Định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác

Định lí sin

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Các công thức tính diện tích tam giác $S$

Theo cạnh đáy và chiều cao: $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$.
Theo hai cạnh và góc xen giữa: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$.
Theo bán kính đường tròn ngoại tiếp: $S = \frac{abc}{4R}$.
Theo bán kính đường tròn nội tiếp: $S = p \cdot r$ (với nửa chu vi $p = \frac{a + b + c}{2}$).

Công thức Heron (khi biết 3 cạnh)

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Trong tam giác $ABC$, biết $b = 5, c = 8$ và góc $A = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng:

Câu 2: Định lí sin trong tam giác $ABC$ với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

Câu 3: Công thức tính diện tích tam giác nào sau đây là ĐÚNG?

Bài 7 Đại số Vectơ

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Các yếu tố đặc trưng của vectơ: Điểm đầu, điểm cuối, phương, chiều & độ dài Khái niệm vectơ

1. Định nghĩa vectơ và các đặc trưng

Định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối). Kí hiệu vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ là $\vec{AB}$. Ta cũng có thể kí hiệu bằng một chữ cái thường có mũi tên: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \vec{v}$.

Giá của vectơ

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ đó.

Độ dài vectơ

Là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối, kí hiệu $|\vec{AB}| = AB$. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Vectơ-không

Là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu $\vec{0}$. Vectơ $\vec{0}$ có độ dài bằng 0 và có phương tùy ý.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và bằng nhau

Cùng phương

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Cùng hướng / Ngược hướng

Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nhau. Vectơ $\vec{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

Điều kiện thẳng hàng

Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$.

Vectơ đối

Vectơ đối của $\vec{a}$ kí hiệu là $-\vec{a}$, có cùng độ dài nhưng ngược hướng với $\vec{a}$. Ta có $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có:

Câu 2: Vectơ-không $\vec{0}$ có đặc điểm nào dưới đây?

Câu 3: Cho hình bình hành $ABCD$. Vectơ nào dưới đây bằng vectơ $\vec{AB}$?

Bài 8 Đại số Vectơ

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Quy tắc ba điểm và Quy tắc hình bình hành của phép cộng vectơ Đại số Vectơ

1. Tổng của hai vectơ và các quy tắc hình học

Quy tắc ba điểm (nối đuôi)

Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta luôn có:

$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$

Quy tắc hình bình hành

Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tổng hai vectơ chung gốc bằng vectơ đường chéo xuất phát từ gốc chung:

$$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$

Tính chất phép cộng vectơ

Giao hoán ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$), kết hợp ($(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$), cộng với vectơ-không ($\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$).

2. Hiệu của hai vectơ và ứng dụng hợp lực

Quy tắc trừ chung gốc

Với ba điểm bất kì $O, A, B$:

$$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$$

Tính chất trung điểm và trọng tâm

$I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OI}$ (với mọi điểm $O$).
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Leftrightarrow \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$ (với mọi điểm $O$).

Ứng dụng vật lí

Tổng các vectơ lực tác dụng lên một vật là hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Nếu vật cân bằng thì $\sum \vec{F}_i = \vec{0}$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$. Theo quy tắc ba điểm, tổng $\vec{AB} + \vec{BC}$ bằng:

Câu 2: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tổng $\vec{AB} + \vec{AD}$ bằng vectơ nào?

Câu 3: Với ba điểm bất kì $O, A, B$, hiệu $\vec{OB} - \vec{OA}$ bằng:

Bài 9 Đại số Vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Phép nhân vectơ với số thực: Hướng và độ dài k·a Tích vectơ với số

1. Định nghĩa và tính chất tích vectơ với số thực

Định nghĩa

Cho số thực $k$ và vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$. Tích của số $k$ với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, có các đặc trưng:

Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Quy ước: $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.

Các tính chất đại số

$k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$
$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b};\quad k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b}$
$1\vec{a} = \vec{a};\quad (-1)\vec{a} = -\vec{a}$

2. Điều kiện cùng phương và biểu diễn một vectơ

Điều kiện hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{a} \ne \vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực $k$ sao cho:

$$\vec{b} = k\vec{a}$$

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho trước hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Mọi vectơ $\vec{x}$ bất kì trong mặt phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

$$\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}\quad (m, n \in \mathbb{R})$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ và số thực $k < 0$. Vectơ $k\vec{a}$ có hướng như thế nào so với $\vec{a}$?

Câu 2: Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi:

Câu 3: Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:

Bài 10 Đại số Vectơ

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Hệ tọa độ Oxy: Tọa độ điểm M(x, y), Vectơ u = xi + yj và độ dài khoảng cách Phương pháp tọa độ

1. Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ (trục hoành) và $\vec{j}$ (trục tung):

Tọa độ vectơ

$\vec{u} = (x; y) \Leftrightarrow \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Tọa độ điểm

$M(x_M; y_M) \Leftrightarrow \vec{OM} = (x_M; y_M)$.

Tọa độ vectơ nối hai điểm

Với $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A)$$

Độ dài vectơ

$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Khoảng cách $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

2. Các phép toán tọa độ và công thức trung điểm, trọng tâm

Cho $\vec{u} = (x_1; y_1), \vec{v} = (x_2; y_2)$ và số thực $k$:

Cộng và trừ

$\vec{u} \pm \vec{v} = (x_1 \pm x_2;\, y_1 \pm y_2)$.

Nhân với số

$k\vec{u} = (kx_1;\, ky_1)$.

Hai vectơ bằng nhau

$\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow x_1 = x_2 \text{ và } y_1 = y_2$.

Điều kiện cùng phương

$\vec{u}$ cùng phương $\vec{v}$ (với $\vec{v} \ne \vec{0}$) $\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ (hoặc $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ nếu mẫu số khác 0).

Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$

$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2};\quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

$$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3};\quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{u} = 2\vec{i} - 5\vec{j}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là:

Câu 2: Cho hai điểm $A(1; 3)$ và $B(5; -1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ là:

Câu 3: Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng nối $A(2; 4)$ và $B(6; 8)$ là:

Bài 11 Đại số Vectơ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng a·b = |a||b|cosθ và phân loại góc Tích vô hướng

1. Định nghĩa tích vô hướng và tính chất

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy điểm $O$, dựng $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$. Góc $\widehat{AOB} \in [0^\circ; 180^\circ]$ gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$.

Định nghĩa tích vô hướng

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Quy ước

Nếu ít nhất một trong hai vectơ là $\vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Bình phương vô hướng

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \ge 0$.

Điều kiện vuông góc

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (với $\vec{a}, \vec{b} \ne \vec{0}$).

2. Biểu thức tọa độ và ứng dụng hình học

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

Biểu thức tọa độ tích vô hướng

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

Độ dài vectơ

$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.

Góc giữa hai vectơ

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

Hai vectơ vuông góc

$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (3; -1)$. Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng:

Câu 2: Hai vectơ khác không $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

Câu 3: Độ dài của vectơ $\vec{u} = (3; -4)$ trong mặt phẳng tọa độ bằng:

Bài 12 Thống kê mô tả

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Khoảng sai số tuyệt đối và độ chính xác phép đo Số gần đúng & sai số

1. Số gần đúng và sai số tuyệt đối

Số gần đúng

Các giá trị thu được từ kết quả đo đạc bằng dụng cụ hoặc tính toán xấp xỉ gọi là số gần đúng $a$ của giá trị đúng $\overline{a}$.

Sai số tuyệt đối

Kí hiệu $\Delta_a = |\overline{a} - a|$.

Độ chính xác $d$

Nếu biết $\Delta_a \le d$ thì ta viết kết quả đo là:

$$\overline{a} = a \pm d\quad \text{nghĩa là}\quad a - d \le \overline{a} \le a + d$$

Sai số tương đối

Đặc trưng cho độ chính xác của phép đo:

$$\delta_a = \frac{\Delta_a}{|a|} \le \frac{d}{|a|} \times 100\%$$

2. Quy tắc làm tròn số và chữ số có nghĩa

Quy tắc làm tròn

Nếu chữ số ngay sau hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số hàng làm tròn.
Nếu chữ số ngay sau hàng làm tròn từ 5 trở lên thì tăng chữ số hàng làm tròn thêm 1 đơn vị.

Làm tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác $d$

Nếu độ chính xác $d$ đến hàng đơn vị nào thì ta làm tròn số gần đúng $a$ đến hàng cao hơn hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của $d$ một bậc.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho kết quả đo chiều cao cột cờ là $h = 12,5 \pm 0,1\text{ m}$. Sai số tuyệt đối của phép đo không vượt quá:

Câu 2: Quy tròn số $a = 23,456$ đến hàng phần mười (đến chữ số thập phân thứ nhất) được kết quả là:

Câu 3: Sai số tương đối $\delta_a$ của phép đo đặc trưng cho điều gì?

Bài 13 Thống kê mô tả

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Vị trí các số đặc trưng đo xu thế trung tâm trên mẫu số liệu Xu thế trung tâm

1. Số trung bình và Trung vị

Cho mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n$:

Số trung bình cộng (Mean)

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^k m_i x_i}{n}$$

(Số trung bình phản ánh mức độ trung tâm của dữ liệu nhưng rất nhạy cảm với các giá trị bất thường).

Trung vị (Median - $M_e$)

Nếu $n$ lẻ: $M_e = x_{\frac{n+1}{2}}$ (phần tử chính giữa).
Nếu $n$ chẵn: $M_e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$ (trung bình cộng của hai phần tử chính giữa).

2. Tứ phân vị và Mốt

Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$)

Chia mẫu số liệu thành 4 phần có số lượng phần tử bằng nhau:

$Q_2 = M_e$ (trung vị của toàn bộ mẫu số liệu).
$Q_1$ (Tứ phân vị thứ nhất): Là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).
$Q_3$ (Tứ phân vị thứ ba): Là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).

Mốt (Mode - $M_o$)

Là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất trong mẫu số liệu. Một mẫu có thể có 1 mốt, nhiều mốt hoặc không có mốt.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Mẫu số liệu điểm thi gồm: $5, 6, 7, 8, 9$. Số trung bình cộng của mẫu là:

Câu 2: Cho mẫu số liệu điểm: $3, 5, 6, 7, 8, 9$. Trung vị $M_e$ của mẫu là:

Câu 3: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất trong mẫu số liệu được gọi là:

Bài 14 Thống kê mô tả

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Biểu đồ hộp (Box-plot) biểu diễn mẫu số liệu và xác định giá trị bất thường Thống kê mô tả

1. Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên (Range)

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - $\Delta_Q$)

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$$

(Đặc trưng cho độ phân tán của 50% số liệu trung tâm, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai).

Xác định giá trị bất thường (Outliers)

Một giá trị $x$ được xem là bất thường nếu:

$$x < Q_1 - 1.5\Delta_Q\quad \text{hoặc}\quad x > Q_3 + 1.5\Delta_Q$$

2. Phương sai và Độ lệch chuẩn

Phương sai (Variance - $s^2$)

Là trung bình cộng các bình phương độ lệch giữa mỗi giá trị và số trung bình:

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$$

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation - $s$)

$$s = \sqrt{s^2}$$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu đo, $s$ càng nhỏ chứng tỏ mẫu số liệu càng đồng đều và tập trung quanh giá trị trung bình.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu được tính bằng:

Câu 2: Mối liên hệ giữa độ lệch chuẩn $s$ và phương sai $s^2$ là:

Câu 3: Một giá trị $x$ trong mẫu được coi là giá trị bất thường (outlier) nếu:

Bài 15 Hàm số & Bậc hai

Bài 15: Hàm số

Đồ thị hàm số y = f(x), tập xác định D và tập giá trị Hàm số & đồ thị

1. Định nghĩa hàm số, tập xác định và tập giá trị

Định nghĩa

Nếu với mỗi giá trị của $x \in D$ có tương ứng duy nhất một giá trị $y \in \mathbb{R}$ thì ta có một hàm số: $y = f(x)$.

$x$: biến số độc lập; $y$: biến số phụ thuộc.
$D$: tập xác định (tập hợp tất cả các giá trị của $x$ làm cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa).
Tập giá trị: $T = \{f(x) \mid x \in D\}$.

Quy tắc tìm tập xác định

Biểu thức phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ có nghĩa khi $Q(x) \ne 0$.
Biểu thức căn bậc chẵn $\sqrt{P(x)}$ có nghĩa khi $P(x) \ge 0$.
Biểu thức dưới mẫu có căn $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ có nghĩa khi $P(x) > 0$.

2. Sự biến thiên của hàm số trên một khoảng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$:

Hàm số đồng biến (tăng)

Với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$, nếu $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Trên đồ thị, đường cong đi lên từ trái sang phải.

Hàm số nghịch biến (giảm)

Với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$, nếu $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. Trên đồ thị, đường cong đi xuống từ trái sang phải.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x - 2}$ là:

Câu 2: Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên khoảng $(a; b)$ nếu với mọi $x_1 < x_2$ thì:

Câu 3: Đồ thị hàm số chẵn có tính chất đối xứng nào?

Bài 16 Hàm số & Bậc hai

Bài 16: Hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c: Đỉnh, trục đối xứng và bề lõm Hàm số bậc hai

1. Định nghĩa và đồ thị hàm số bậc hai (Parabol)

Định nghĩa

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$), có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đồ thị Parabol ($P$)

Đỉnh của Parabol

$I\left(-\frac{b}{2a};\, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ với $\Delta = b^2 - 4ac$.

Trục đối xứng

Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.

Bề lõm

Quay lên trên nếu $a > 0$; quay xuống dưới nếu $a < 0$.

Giao điểm với trục tọa độ

Cắt trục tung $Oy$ tại điểm $(0; c)$.

2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên

Trường hợp $a > 0$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)$.
Đạt giá trị nhỏ nhất tại $y_{\min} = -\frac{\Delta}{4a}$ khi $x = -\frac{b}{2a}$.

Trường hợp $a < 0$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)$.
Đạt giá trị lớn nhất tại $y_{\max} = -\frac{\Delta}{4a}$ khi $x = -\frac{b}{2a}$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Tọa độ đỉnh $I$ của parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) là:

Câu 2: Trục đối xứng của parabol $y = x^2 - 4x + 3$ là đường thẳng có phương trình:

Câu 3: Parabol $y = ax^2 + bx + c$ có bề lõm quay lên trên khi và chỉ khi:

Bài 17 Hàm số & Bậc hai

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (Quy tắc "Trong trái - Ngoài cùng") Dấu của tam thức

1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$). Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$:

Trường hợp $\Delta < 0$

$f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ ($a \cdot f(x) > 0$).

Trường hợp $\Delta = 0$

$f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \ne -\frac{b}{2a}$; tại $x = -\frac{b}{2a}$ thì $f(x) = 0$.

Trường hợp $\Delta > 0$

$f(x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$.

Trong khoảng hai nghiệm $(x_1; x_2)$: $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$.
Ngoài khoảng hai nghiệm $(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$: $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$.
(Quy tắc nhớ: "Trong trái, ngoài cùng").

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Tìm nghiệm của tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$.
Lập bảng xét dấu của $f(x)$ dựa vào quy tắc dấu tam thức bậc hai.
Căn cứ vào chiều bất phương trình ($> 0, \ge 0, < 0, \le 0$) để kết luận tập nghiệm.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Cho tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$). Nếu biệt thức $\Delta < 0$ thì dấu của $f(x)$ như thế nào?

Câu 2: Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$ là:

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình $x^2 - 5x + 6 < 0$ là:

Bài 18 Hàm số & Bậc hai

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Tương giao hình học phương trình chứa căn √(ax²+bx+c) = dx+e PT quy về bậc hai

1. Dạng phương trình $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

Quy trình giải

Bước 1

Bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai: $f(x) = g(x)$.

Bước 2

Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm $x$.

Bước 3 (Thử lại)

Thay các nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.

2. Dạng phương trình $\sqrt{f(x)} = g(x)$

Phương pháp tương đương an toàn

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$

Phương pháp bình phương thử lại

Bình phương hai vế: $f(x) = [g(x)]^2$.
Giải phương trình bậc hai thu được các nghiệm $x$.
Bắt buộc thử lại từng nghiệm vào điều kiện $g(x) \ge 0$ và phương trình gốc để kết luận.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Khi giải phương trình dạng $\sqrt{f(x)} = g(x)$, bước biến đổi tương đương bắt buộc phải có điều kiện gì?

Câu 2: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 1$ là:

Câu 3: Phương trình dạng $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ tương đương với hệ nào dưới đây?

Bài 19 Hình học Oxy

Bài 19: Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n của đường thẳng Δ PT đường thẳng Oxy

1. Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và các dạng phương trình

Vectơ chỉ phương (VTCP)

Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

Vectơ pháp tuyến (VTPT)

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ vuông góc với giá của VTCP $\vec{u}$. Nếu $\vec{u} = (a; b)$ thì $\vec{n} = (-b; a)$ hoặc $(b; -a)$.

Phương trình tham số của đường thẳng

Đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và nhận $\vec{u} = (u_1; u_2)$ làm VTCP:

$$\begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + u_2 t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R})$$

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và nhận $\vec{n} = (a; b)$ làm VTPT:

$$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \iff ax + by + c = 0\quad (a^2 + b^2 \ne 0)$$

2. Phương trình theo đoạn chắn và hệ số góc

Phương trình theo đoạn chắn

Cắt trục $Ox$ tại $(a; 0)$ và $Oy$ tại $(0; b)$ ($a, b \ne 0$): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Phương trình theo hệ số góc

$y = kx + m$ (với hệ số góc $k = \tan\alpha = -\frac{a}{b}$).

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Đường thẳng $\Delta: 2x - 3y + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến (VTPT) là:

Câu 2: Nếu đường thẳng có một VTPT $\vec{n} = (a; b)$ thì một vectơ chỉ phương (VTCP) của nó là:

Câu 3: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M_0(1; 2)$ và có VTCP $\vec{u} = (3; -4)$ là:

Bài 20 Hình học Oxy

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Khoảng cách d(M₀, Δ) và góc φ giữa hai đường thẳng Khoảng cách & Góc

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$:

Xét hệ phương trình:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = -c_1 \\ a_2x + b_2y = -c_2 \end{cases}$$

Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \Delta_1$ cắt $\Delta_2$ tại một điểm.
Hệ vô nghiệm $\iff \Delta_1 \parallel \Delta_2$.
Hệ vô số nghiệm $\iff \Delta_1 \equiv \Delta_2$.

Điều kiện vuông góc

$\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

2. Góc giữa hai đường thẳng và Công thức tính khoảng cách

Góc giữa hai đường thẳng

$\varphi = (\Delta_1, \Delta_2) \in [0^\circ; 90^\circ]$:

$$\cos\varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$$

Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$

$$d(M_0, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Khoảng cách từ điểm $M_0(1; 1)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y + 3 = 0$ bằng:

Câu 2: Hai đường thẳng $d_1: ax + by + c = 0$ và $d_2: a'x + b'y + c' = 0$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

Câu 3: Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng bất kì trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện nào?

Bài 21 Hình học Oxy

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R và Tiếp tuyến tại điểm M₀ Phương pháp tọa độ Oxy

1. Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát

Phương trình chính tắc

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; b)$, bán kính $R > 0$:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

Phương trình khai triển (tổng quát)

$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$$

Điều kiện để phương trình trên là phương trình đường tròn là:

$$a^2 + b^2 - c > 0$$

Khi đó đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$, bán kính $R$ và điểm $M_0(x_0; y_0) \in (C)$.
Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M_0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{IM_0} = (x_0 - a;\, y_0 - b)$:

$$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Đường tròn $(C): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ có tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là:

Câu 2: Phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:

Câu 3: Tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tâm $I$ tại tiếp điểm $M_0 \in (C)$ nhận vectơ nào làm VTPT?

Bài 22 Hình học Oxy

Bài 22: Ba đường conic

Ba đường Conic: Elip (tổng khoảng cách), Hypebol (hiệu khoảng cách) và Parabol Đường Conic

1. Đường Elip (E)

Định nghĩa

Tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1 + MF_2 = 2a$ ($a > c > 0$).

Phương trình chính tắc

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\quad (a > b > 0;\, b^2 = a^2 - c^2)$$

Đặc trưng hình học

Tiêu điểm: $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$, tiêu cự $2c$.
Đỉnh trục lớn: $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$, độ dài trục lớn $2a$.
Đỉnh trục nhỏ: $B_1(0; -b), B_2(0; b)$, độ dài trục nhỏ $2b$.

2. Đường Hypebol (H) và Đường Parabol (P)

Đường Hypebol (H)

Tập hợp các điểm $M$ sao cho $|MF_1 - MF_2| = 2a$ ($c > a > 0$).

Phương trình chính tắc

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\quad (b^2 = c^2 - a^2)$$

Tiêu điểm: $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$; hai đường tiệm cận: $y = \pm \frac{b}{a}x$.

Đường Parabol (P)

Tập hợp các điểm $M$ cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$.

Phương trình chính tắc

$$y^2 = 2px\quad (p > 0 \text{ là tham số tiêu})$$

Tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2};\, 0\right)$; đường chuẩn: $\Delta: x = -\frac{p}{2}$.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có dạng nào dưới đây?

Câu 2: Trong elip, mối liên hệ giữa các bán trục $a, b$ và tiêu cự $2c$ là:

Câu 3: Đường chuẩn của parabol chính tắc $y^2 = 2px$ ($p > 0$) có phương trình là:

Bài 23 Đại số tổ hợp

Bài 23: Quy tắc đếm

Sơ đồ cây (Tree Diagram) mô hình hóa quy tắc cộng & quy tắc nhân Quy tắc đếm

1. Quy tắc cộng và sơ đồ phân nhóm

Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể hoàn thành theo một trong hai phương án $A$ hoặc $B$ độc lập (loại trừ nhau):

Phương án $A$ có $m$ cách thực hiện.
Phương án $B$ có $n$ cách thực hiện.
Khi đó có $m + n$ cách hoàn thành công việc.

Mở rộng cho $k$ phương án

Nếu các phương án rời nhau đôi một thì tổng số cách là $n_1 + n_2 + ... + n_k$.

2. Quy tắc nhân và Sơ đồ hình cây

Quy tắc nhân

Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn $A$ và $B$ thực hiện liên tiếp nhau:

Công đoạn $A$ có $m$ cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện công đoạn $A$, có $n$ cách thực hiện công đoạn $B$.
Khi đó có $m \times n$ cách hoàn thành công việc.

Sơ đồ hình cây (Tree diagram)

Dùng để liệt kê trực quan các nhánh lựa chọn theo từng bước, giúp kiểm soát đầy đủ mọi trường hợp không bị bỏ sót.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Một bạn có 3 chiếc áo sơ mi khác nhau và 4 chiếc quần âu khác nhau. Hỏi bạn đó có bao nhiêu cách chọn 1 bộ trang phục gồm 1 áo và 1 quần?

Câu 2: Một hộp chứa 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lấy 1 quả cầu bất kì?

Câu 3: Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?

Bài 24 Đại số tổ hợp

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Tiêu chí phân biệt: Hoán vị (Pn), Chỉnh hợp (Aₙᵏ) và Tổ hợp (Cₙᵏ) Đại số tổ hợp

1. Hoán vị và Chỉnh hợp (Có thứ tự)

Giai thừa

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$, quy ước $0! = 1$.

Hoán vị

Một cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử phân biệt gọi là một hoán vị:

$$P_n = n!$$

Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ ($1 \le k \le n$)

Chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử và sắp xếp có thứ tự:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} = n(n - 1)\cdots(n - k + 1)$$

2. Tổ hợp (Không phân biệt thứ tự)

Tổ hợp chập $k$ của $n$ ($0 \le k \le n$)

Chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt mà không quan tâm đến thứ tự:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$

Mối liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp

$$A_n^k = k! \cdot C_n^k$$

Các tính chất đối xứng và hệ thức Pascal

$C_n^k = C_n^{n - k}$
$C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

Câu 2: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Câu 3: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh để đi lao động (không phân biệt nhiệm vụ)?

Bài 25 Đại số tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Tam giác Pascal và Khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ Đại số tổ hợp

1. Khai triển nhị thức Newton

Công thức khai triển với số mũ nguyên dương $n$

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^n b^n$$

Khai triển với $n = 4$ và $n = 5$ chuẩn SGK Lớp 10

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

2. Số hạng tổng quát và Tam giác Pascal

Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển

$$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k}b^k\quad (k = 0, 1, ..., n)$$

Tính chất hệ số nhị thức

Các hệ số cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ($C_n^k = C_n^{n-k}$).
Tổng các hệ số: $C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 2^n$ (khi thay $a = b = 1$).

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Khai triển của nhị thức $(a + b)^4$ có tất cả bao nhiêu số hạng?

Câu 2: Hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển nhị thức $(x + 2)^5$ là:

Câu 3: Tổng các hệ số trong khai triển của biểu thức $(1 + x)^n$ bằng:

Bài 26 Xác suất cổ điển

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Không gian mẫu Ω và Xác suất cổ điển P(A) = n(A) / n(Ω) Xác suất cổ điển

1. Phép thử, Không gian mẫu và Biến cố

Phép thử ngẫu nhiên

Là phép thử mà kết quả không thể đoán trước được, nhưng tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra thì hoàn toàn xác định.

Không gian mẫu ($\Omega$)

Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Biến cố ($A$)

Là một tập con của không gian mẫu ($A \subseteq \Omega$). Biến cố chắc chắn là $\Omega$; biến cố không thể là $\varnothing$.

Các phép toán trên biến cố

Biến cố đối $\overline{A} = \Omega \setminus A$.
Biến cố hợp $A \cup B$ ("Biến cố A hoặc B xảy ra").
Biến cố giao $A \cap B$ hay $AB$ ("Cả hai biến cố A và B cùng xảy ra").
Hai biến cố xung khắc: $A \cap B = \varnothing$.

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Công thức xác suất cổ điển (khi các kết quả đồng khả năng)

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$

trong đó $n(A)$ là số phần tử thuận lợi cho biến cố $A$, $n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu.

Các tính chất cơ bản

$0 \le P(A) \le 1$; $P(\Omega) = 1$; $P(\varnothing) = 0$.
Xác suất biến cố đối: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Công thức cộng xác suất

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

(Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$).

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ là:

Câu 2: Xác suất để gieo được mặt có số chấm là số chẵn khi gieo xúc xắc một lần là:

Câu 3: Biến cố chắc chắn có xác suất bằng bao nhiêu?

Bài 27 Xác suất cổ điển

Bài 27: Thực hành tính xác suất

Biểu diễn xác suất biến cố đối và công thức cộng xác suất Thực hành xác suất

1. Quy trình tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp

Bước 1

Xác định phép thử và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ (thường dùng quy tắc nhân hoặc tổ hợp $C_n^k$).

Bước 2

Xác định biến cố $A$ cần tính và đếm số kết quả thuận lợi $n(A)$ bằng các quy tắc đếm tương ứng.

Bước 3

Áp dụng công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

2. Sử dụng biến cố đối và sơ đồ hình cây

Khi bài toán yêu cầu biến cố có các từ khóa như "ít nhất một", "có ít nhất...", việc tính trực tiếp gồm nhiều trường hợp phức tạp, ta nên chuyển qua tính biến cố đối $\overline{A}$ ("không có phần tử nào thỏa mãn"), sau đó suy ra:

$$P(A) = 1 - P(\overline{A})$$

Đối với phép thử gồm nhiều bước nối tiếp nhau (như gieo đồng xu liên tiếp, rút thẻ có hoàn lại hoặc không hoàn lại), sử dụng sơ đồ cây giúp phân nhánh tính xác suất nhanh chóng và trực quan.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Một hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu đỏ là:

Câu 2: Biết biến cố $A$ có xác suất $P(A) = 0,35$. Xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ là:

Câu 3: Cho hai biến cố xung khắc $A$ và $B$. Công thức cộng xác suất $P(A \cup B)$ là:

Thực hành trải nghiệm Thực hành trải nghiệm

Chuyên đề: Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính

Mô hình toán học tài chính: Hàm bậc thang tính tiền điện và đường cong lãi kép Toán tài chính

1. Mô hình hóa biểu giá bán lẻ điện theo bậc

Biểu giá điện sinh hoạt của Việt Nam được chia thành các bậc lũy tiến (Bậc 1: 0 - 50 kWh; Bậc 2: 51 - 100 kWh; Bậc 3: 101 - 200 kWh; ...).

Hàm số từng đoạn

Số tiền phải trả $y$ (đồng) được mô tả bằng một hàm số xác định theo từng khoảng của lượng điện tiêu thụ $x$ (kWh).

Khi tính tiền điện cần tính đúng mức lũy tiến ở từng khoảng cộng thêm thuế VAT (10%), kiểm tra tính liên tục của hàm số tài chính tại các điểm mốc đổi bậc.

2. Kế hoạch tài chính và lãi suất tiết kiệm

Phân biệt giữa thu nhập cố định, thu nhập biến đổi và các khoản chi tiêu thiết yếu vs chi tiêu linh hoạt.
Áp dụng công thức lãi đơn và lãi kép trong bài toán tích lũy tài chính học đường.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất kép $6\%$/năm. Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 2 năm là:

Câu 2: Hàm số tính tiền điện sinh hoạt theo biểu giá lũy tiến 6 bậc là ví dụ điển hình của loại hàm số nào?

Câu 3: Lãi đơn khác lãi kép ở điểm cốt lõi nào?

Thực hành trải nghiệm Thực hành trải nghiệm

Chuyên đề: Mạng xã hội: Lợi và hại

Mô hình đồ thị mạng xã hội (Graph Network): Nút người dùng và Cạnh quan hệ Mạng xã hội

1. Thiết kế bảng khảo sát và thu thập dữ liệu thống kê

Thiết kế phiếu khảo sát mẫu về thời gian sử dụng mạng xã hội hàng ngày (phút/ngày), mục đích sử dụng (học tập, giải trí, kết nối bạn bè) và mức độ ảnh hưởng đến giấc ngủ, kết quả học tập.
Đảm bảo mẫu khảo sát được chọn ngẫu nhiên, không có định kiến và bảo mật thông tin người tham gia.

2. Phân tích dữ liệu bằng các số đặc trưng

Tính số trung bình $\bar{x}$, trung vị $M_e$, mốt $M_o$, khoảng biến thiên $R$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ và độ lệch chuẩn $s$.
Vẽ biểu đồ hộp (Box-plot) để so sánh thời gian sử dụng mạng xã hội giữa các nhóm học sinh, rút ra kết luận khoa học dựa trên dữ liệu thực chứng.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Trong mô hình đồ thị mạng xã hội, các cá nhân (tài khoản) và các mối quan hệ kết bạn được biểu diễn tương ứng bằng:

Câu 2: Bậc của một đỉnh trong đồ thị mạng xã hội biểu thị điều gì?

Câu 3: Hiện tượng 'thế giới nhỏ' (Small World) trong mạng xã hội chỉ ra rằng:

Thực hành trải nghiệm Thực hành trải nghiệm

Chuyên đề: Ước tính số cá thể trong một quần thể

Mô hình Bắt – Đánh dấu – Thả – Bắt lại (Lincoln - Petersen) ước tính số lượng cá thể N Thực hành trải nghiệm

1. Phương pháp Bắt – Đánh dấu – Thả – Bắt lại (Lincoln - Petersen)

Quy trình thực nghiệm

Lần 1: Bắt ngẫu nhiên $m$ cá thể trong quần thể, đánh dấu an toàn (không làm ảnh hưởng sức khỏe/hành vi) rồi thả lại vào tự nhiên.
Chờ một thời gian để các cá thể đánh dấu phân bố hòa nhập đều vào quần thể.
Lần 2: Bắt ngẫu nhiên $n$ cá thể, kiểm tra thấy có $r$ cá thể mang dấu.

Công thức ước tính kích thước quần thể $N$

$$\frac{r}{n} \approx \frac{m}{N} \implies N \approx \frac{m \cdot n}{r}$$

2. Điều kiện áp dụng và sai số

Quần thể phải khép kín (tỉ lệ sinh, tử, xuất cư, nhập cư không đáng kể trong thời gian khảo sát).
Dấu đánh không bị mất và các cá thể có xác suất bị bắt như nhau ở cả hai lần. Nếu số cá thể bắt lại mang dấu $r$ quá nhỏ thì sai số ước lượng sẽ rất lớn.

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Chọn đáp án đúng nhất

Câu 1: Nhà sinh học bắt 100 cá thể cá trong hồ, đánh dấu rồi thả lại. Sau đó bắt lại 80 con thấy có 20 con có dấu. Kích thước quần thể cá $N$ ước tính là:

Câu 2: Giả định cốt lõi để phương pháp đánh dấu bắt lại đạt độ chính xác cao là:

Câu 3: Nếu tỉ lệ cá có dấu bắt lại $r/n$ càng nhỏ thì kích thước quần thể $N$ ước tính sẽ:

Mạch kiến thức	Công thức cốt lõi	Điều kiện
Số phần tử hợp hai tập	$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$	Tập hữu hạn
Hằng đẳng thức lượng giác	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	Mọi $\alpha$
Tang & Cotang	$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};\quad \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$	$\alpha \ne 90^\circ; \alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$
Định lí côsin	$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	Tam giác $ABC$
Định lí sin	$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$	Tam giác $ABC$, bán kính $R$
Diện tích tam giác	$S = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	$p = \frac{a+b+c}{2}$

Mạch kiến thức	Công thức cốt lõi	Ý nghĩa
Tọa độ vectơ nối hai điểm	$\vec{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A)$	Hướng từ $A$ đến $B$
Tích vô hướng tọa độ	$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 =	\vec{a}		\vec{b}	\cos\theta$	Tính góc & vuông góc
Khoảng cách điểm đến đường	$d(M_0, \Delta) = \frac{	ax_0 + by_0 + c	}{\sqrt{a^2 + b^2}}$	$\Delta: ax + by + c = 0$
Góc giữa hai đường thẳng	$\cos\varphi = \frac{	a_1a_2 + b_1b_2	}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$	$\varphi \in [0^\circ; 90^\circ]$
Phương trình đường tròn	$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$	Tâm $I(a; b)$, bán kính $R$
Chính tắc Elip	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\quad (b^2 = a^2 - c^2)$	$a > b > 0$, tiêu cự $2c$
Chính tắc Hypebol	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\quad (b^2 = c^2 - a^2)$	Tiệm cận $y = \pm \frac{b}{a}x$
Chính tắc Parabol	$y^2 = 2px$	Tiêu điểm $F(p/2; 0)$, chuẩn $x = -p/2$

Mạch kiến thức	Công thức cốt lõi	Ý nghĩa
Phương sai mẫu	$s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$	Đo mức độ phân tán
Độ lệch chuẩn	$s = \sqrt{s^2}$	Cùng đơn vị đo với dữ liệu
Hoán vị $n$ phần tử	$P_n = n!$	Sắp xếp toàn bộ $n$ phần tử
Chỉnh hợp chập $k$ của $n$	$A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$	Chọn $k$ và xếp thứ tự
Tổ hợp chập $k$ của $n$	$C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$	Chọn $k$ không phân biệt thứ tự
Nhị thức Newton	$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k$	Khai triển lũy thừa bậc $n$
Xác suất cổ điển	$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$	Khi các kết quả đồng khả năng
Ước tính quần thể	$N \approx \frac{m \cdot n}{r}$	Phương pháp đánh dấu bắt lại

Học Liệu Số Toán Học 10 Chuẩn SGK

Bài 1: Mệnh đề

1. Mệnh đề logic và mệnh đề chứa biến

2. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo và mệnh đề tương đương

3. Kí hiệu lượng từ với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Khái niệm tập hợp và các tập hợp số

2. Các phép toán trên tập hợp

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Dạng tổng quát và nghiệm

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa và cách xác định miền nghiệm

2. Bài toán quy hoạch tuyến tính và giá trị tối ưu

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Định nghĩa giá trị lượng giác trên nửa đường tròn đơn vị

2. Dấu và tính chất của giá trị lượng giác

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin và hệ quả

2. Định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

1. Định nghĩa vectơ và các đặc trưng

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và bằng nhau

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ và các quy tắc hình học

2. Hiệu của hai vectơ và ứng dụng hợp lực

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

1. Định nghĩa và tính chất tích vectơ với số thực

2. Điều kiện cùng phương và biểu diễn một vectơ

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm

2. Các phép toán tọa độ và công thức trung điểm, trọng tâm

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa tích vô hướng và tính chất

2. Biểu thức tọa độ và ứng dụng hình học

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 12: Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng và sai số tuyệt đối

2. Quy tắc làm tròn số và chữ số có nghĩa

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Số trung bình và Trung vị

2. Tứ phân vị và Mốt

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

1. Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị

2. Phương sai và Độ lệch chuẩn

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 15: Hàm số

1. Định nghĩa hàm số, tập xác định và tập giá trị

2. Sự biến thiên của hàm số trên một khoảng

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 16: Hàm số bậc hai

1. Định nghĩa và đồ thị hàm số bậc hai (Parabol)

2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Dạng phương trình $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

2. Dạng phương trình $\sqrt{f(x)} = g(x)$

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 19: Phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và các dạng phương trình

2. Phương trình theo đoạn chắn và hệ số góc

Câu hỏi ôn tập củng cố cuối bài (3 câu)

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng