Khóa Học Toàn Diện Toán Lớp 7

1. Khái niệm số hữu tỉ và tập hợp \(\mathbb{Q}\):

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với \(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\). Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số & So sánh:

• Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Điểm biểu diễn số hữu tỉ \(x\) gọi là điểm \(x\).
• Với hai số hữu tỉ bất kì \(x, y\), ta luôn có: hoặc \(x < y\), hoặc \(x > y\), hoặc \(x = y\).
• Nếu \(x < y\) thì trên trục số nằm ngang, điểm \(x\) nằm bên trái điểm \(y\).
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm. Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

1. Phép cộng và phép trừ số hữu tỉ:

Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số:

2. Phép nhân và phép chia số hữu tỉ:

1. Định nghĩa luỹ thừa:

Lũy thừa bậc \(n\) của số hữu tỉ \(x\) (kí hiệu là \(x^n\), với \(n \in \mathbb{N}^*\)) là tích của \(n\) thừa số bằng \(x\):

2. Các công thức lũy thừa quan trọng:

1. Thứ tự thực hiện các phép tính:

• Với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa \(\rightarrow\) Nhân và chia \(\rightarrow\) Cộng và trừ.
• Với biểu thức có dấu ngoặc: Ngoặc tròn \(( ) \rightarrow\) Ngoặc vuông \([ ] \rightarrow\) Ngoặc nhọn \(\{ \}\).

2. Quy tắc chuyển vế:

1. Số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn:

• Nếu phân số tối giản với mẫu dương không có ước nguyên tố nào khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Ví dụ: \(\frac{3}{20} = 0,15\).
• Nếu phân số tối giản với mẫu dương có chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: \(\frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3)\).

2. Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

1. Số vô tỉ (tập hợp \(\mathbb{I}\)):

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{I}\). Ví dụ: \(\sqrt{2} \approx 1,4142135...\); \(\pi \approx 3,1415926...\).

2. Căn bậc hai số học:

1. Tập hợp số thực \(\mathbb{R}\):

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là \(\mathbb{R}\).

2. Giá trị tuyệt đối của một số thực:

Giá trị tuyệt đối của số thực \(x\) (kí hiệu \(|x|\)) là khoảng cách từ điểm \(x\) đến điểm gốc 0 trên trục số:

1. Hai góc kề bù và đối đỉnh:

• Hai góc kề bù: Là hai góc vừa kề nhau vừa bù nhau (có một cạnh chung và hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau). Tổng số đo của chúng bằng \(180^\circ\): \[\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 180^\circ\]
• Hai góc đối đỉnh: Mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Định lí: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau: \[\widehat{O_1} = \widehat{O_3} \quad ; \quad \widehat{O_2} = \widehat{O_4}\]

2. Tia phân giác của một góc:

1. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng:

Đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị và trong cùng phía.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song:

2. Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song:

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau: \[a \perp c \text{ và } b \perp c \implies a // b\]
• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia: \[a // b \text{ và } c \perp a \implies c \perp b\]
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau: \[a // c \text{ và } b // c \implies a // b\]

1. Khái niệm định lí:

Định lí là một khẳng định được coi là đúng, được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng trước đó.

2. Chứng minh định lí: Là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

1. Định lí tổng ba góc của một tam giác:

2. Áp dụng vào tam giác vuông và góc ngoài:

• Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng \(90^\circ\)): \[\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\]
• Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó: \[\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B}\]

1. Khái niệm hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) bằng nhau (kí hiệu \(\triangle ABC = \triangle A'B'C'\)) nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c-c-c):

1. Trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh (c-g-c):

2. Trường hợp Góc - Cạnh - Góc (g-c-g):

1. Tóm tắt lý thuyết bài học:

Tam giác vuông có một góc vuông (\(90^\circ\)). Vì thế, các trường hợp bằng nhau tổng quát của tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g) được suy ra thành các quy tắc ngắn gọn hơn:

1. Tam giác cân và tam giác đều:

• Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau: \[\triangle ABC \text{ cân tại } A \iff AB = AC \iff \widehat{B} = \widehat{C}\]
• Tam giác đều: Có 3 cạnh bằng nhau và 3 góc bằng nhau, mỗi góc bằng \(60^\circ\): \[AB = BC = CA \iff \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ\]

2. Đường trung trực của đoạn thẳng:

1. Phân loại dữ liệu:

• Dữ liệu định tính: Biểu diễn bằng chữ, kí hiệu hoặc danh mục (như Giới tính, Quê quán, Xếp loại rèn luyện...).
• Dữ liệu định lượng: Biểu diễn bằng số thực, đo đếm được (như Chiều cao, Nhiệt độ, Điểm số, Cân nặng...).

2. Tính đại diện của dữ liệu: Mẫu khảo sát phải có kích thước đủ lớn và mang tính ngẫu nhiên, bao quát toàn bộ đối tượng điều tra.

1. Đặc điểm biểu đồ hình quạt tròn:

• Dùng để thể hiện cơ cấu, tỉ lệ phần trăm của từng phần so với toàn thể (tổng các phần luôn bằng \(100\%\)).
• Mỗi hình quạt tròn biểu diễn một danh mục. Cả hình tròn ứng với \(360^\circ\) (tương đương \(100\%\)).
• Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn \(p\%\) là: \[\alpha = p\% \cdot 360^\circ = p \cdot 3,6^\circ\]

1. Ý nghĩa của biểu đồ đoạn thẳng:

Biểu đồ đoạn thẳng giúp người xem dễ dàng nhận thấy xu thế tăng, giảm hay ổn định của một đại lượng qua các mốc thời gian liên tục.

2. Cấu tạo: Trục ngang thể hiện các mốc thời gian; trục thẳng đứng thể hiện giá trị của đại lượng; các điểm được nối với nhau tạo thành đường gấp khúc.

1. Định nghĩa tỉ lệ thức:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số: \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{hoặc} \quad a : b = c : d\]

2. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:

1. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

2. Ứng dụng: Dùng để chia một đại lượng thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

1. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận:

Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \[y = k \cdot x \quad (k \text{ là hằng số khác } 0)\] thì ta nói \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\).

1. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch:

Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \[y = \frac{a}{x} \quad \text{hay} \quad x \cdot y = a \quad (a \text{ là hằng số khác } 0)\] thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).

1. Khái niệm biểu thức đại số:

Biểu thức gồm các số, các chữ (gọi là biến số) và các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) được gọi là biểu thức đại số.

2. Giá trị của một biểu thức đại số: Thay các giá trị cho trước của biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự.

1. Đa thức một biến:

Là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Dạng thu gọn sắp xếp theo lũy thừa giảm dần: \[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \quad (a_n \ne 0)\]

Hai cách cộng, trừ đa thức một biến:

• Cách 1 (Hàng ngang): Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu nếu trước ngoặc có dấu trừ) rồi nhóm các hạng tử cùng bậc (đồng dạng) để thu gọn.
• Cách 2 (Đặt tính cột dọc): Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến, đặt các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi thực hiện phép tính.

1. Quy tắc nhân đa thức một biến:

1. Phép chia hết và phép chia có dư:

1. Phân loại biến cố:

• Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra trong phép thử. (Xác suất bằng 1).
• Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra trong phép thử. (Xác suất bằng 0).
• Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử.

1. Công thức tính xác suất:

1. Định lí quan hệ góc - cạnh đối diện:

1. Khái niệm và so sánh:

Từ điểm \(A\) ngoài đường thẳng \(d\), kẻ \(AH \perp d\) tại \(H\) và các đường xiên \(AB, AC\) (với \(B, C \in d, B, C \ne H\)).

1. Bất đẳng thức tam giác:

2. Nhận xét: Để kiểm tra 3 đoạn thẳng có tạo thành tam giác không, chỉ cần so sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng độ dài hai cạnh nhỏ hơn.

1. Ba đường trung tuyến (Trọng tâm G):

2. Ba đường phân giác (Tâm nội tiếp I):

1. Ba đường trung trực (Tâm ngoại tiếp O):

2. Ba đường cao (Trực tâm H):

1. Hình hộp chữ nhật (kích thước \(a, b\), chiều cao \(h\)):

2. Hình lập phương (cạnh \(a\)):

1. Đặc điểm hình lăng trụ đứng:

• Hai mặt đáy song song và bằng nhau (là tam giác hoặc tứ giác).
• Các mặt bên là các hình chữ nhật vuông góc với hai đáy.
• Độ dài một cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng (kí hiệu \(h\)).

2. Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích: