Đa Thức Nghiệm Thực - Phức, Tiêu Chuẩn Bất Khả Quy Eisenstein & Đa Thức Chebyshev
Trong các kỳ thi VMO và chọn Đội tuyển Quốc tế (TST), đa thức là phân môn then chốt với các định lý về nghiệm nguyên (Gauss), quan hệ nghiệm - hệ số (Viète mở rộng), tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein trên $\mathbb{Q}[x]$ và các dãy đa thức trực giao Chebyshev $T_n(x)$.
Tiêu Chuẩn Bất Khả Quy Eisenstein & Định Lý Gauss
• Tiêu chuẩn Eisenstein: Cho $P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$. Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p \nmid a_n$, $p \mid a_i$ với mọi $i < n$, và $p^2 \nmid a_0$ thì $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$.
• Bổ đề Gauss: Nếu đa thức nguyên phân tích được thành tích hai đa thức hữu tỉ thì cũng phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên.
• Đa thức Cyclotomic: $\Phi_n(x) = \prod_{\gcd(k,n)=1} (x - e^{2\pi i k / n})$ luôn bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
Đa Thức Chebyshev & Ứng Dụng Lượng Giác
• Đa thức Chebyshev loại I: Định nghĩa $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$ với công thức truy hồi: $T_0(x) = 1, T_1(x) = x, T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$.
• Nghiệm của $T_n(x)$: $x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$ với $k = 1, 2, ..., n$.
• Hệ số cao nhất: Bằng $2^{n-1}$ khi $n \ge 1$, đóng vai trò cực tiểu hóa sai số xấp xỉ trong giải tích.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 01 (Chuẩn VMO)
1. Cho đa thức $P(x) = x^5 - 4x^3 + 14x^2 - 28x + 6$. Khẳng định nào sau đây là đúng về tính khả quy của $P(x)$ trên $\mathbb{Q}[x]$?
2. Bậc và hệ số cao nhất của đa thức Chebyshev loại I $T_5(x)$ lần lượt là:
3. Giá trị của đa thức Cyclotomic $\Phi_4(x)$ là:
4. Nếu đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $P(1) = 3$ và $P(5) = 11$, điều gì xảy ra với số nguyên $k$ để $P(k) = 2026$?
Phương Trình Hàm, Kỹ Thuật Điểm Bất Động & Tính Chất Đơn Ánh - Toàn Ánh
Phương trình hàm (Functional Equations) là bài toán đặc thù của các kỳ thi HSG Quốc gia (VMO, TST). Phương pháp giải chủ đạo gồm: thế biến đặc biệt, khai thác tính đơn ánh (injectivity), toàn ánh (surjectivity), tính chẵn - lẻ, điểm bất động và đưa về phương trình hàm Cauchy.
Các Dạng Phương Trình Hàm Cauchy Cơ Bản
• Cauchy cộng tính: $f(x+y) = f(x) + f(y)$. Nếu $f$ liên tục, đơn điệu hoặc bị chặn trên một khoảng $\implies f(x) = cx$.
• Cauchy nhân tính: $f(xy) = f(x)f(y) \implies f(x) = x^c$ (với $x > 0$).
• Phương trình Jensen: $f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2} \implies f(x) = ax + b$.
• Phương trình d'Alembert: $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) \implies f(x) = \cos(ax)$ hoặc $\cosh(ax)$.
Kỹ Thuật Đơn Ánh, Toàn Ánh & Điểm Bất Động
• Đơn ánh: Nếu $f(A) = f(B) \implies A = B$. Thường suy ra từ các biểu thức dạng $f(f(x) + y) = x + f(y)$.
• Toàn ánh: Vế phải của phương trình hàm quét hết tập giá trị $\mathbb{R}$ khi thay đổi biến tự do $\implies$ tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) = 0$.
• Kỹ thuật thế đối xứng: Đổi vai trò $x \leftrightarrow y$ để triệt tiêu hoặc tạo hệ phương trình đại số.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 02 (Chuẩn VMO)
1. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$, biết $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1) = 2$.
2. Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) - x)$ với mọi $x, y$. Tính chất nào sau đây của $f$ là chắc chắn đúng?
3. Phương trình hàm $f(xy) = f(x) + f(y)$ với $f: (0; +\infty) \to \mathbb{R}$ liên tục có dạng nghiệm tổng quát là:
4. Số nghiệm hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$ với $f(0) = 1$ là:
Bất Đẳng Thức Olympic, Phương Pháp SOS, Dồn Biến & Bất Đẳng Thức Schur
Chuyên đề bất đẳng thức VMO đòi hỏi kỹ năng đại số biến đổi thượng thừa: chuẩn hóa (normalization), kỹ thuật phân tích tổng bình phương (SOS - Sum of Squares), phương pháp $p, q, r$ và bất đẳng thức Schur kết hợp dồn biến (Mixing Variables).
Bất Đẳng Thức Schur & Phương Pháp $p, q, r$
• Bất đẳng thức Schur bậc 3: Với $a, b, c \ge 0$: $a^r(a-b)(a-c) + b^r(b-c)(b-a) + c^r(c-a)(c-b) \ge 0$. Với $r = 1$: $a^3+b^3+c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$.
• Hệ biến số $p, q, r$: Đặt $p = a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc$. Khi đó Schur bậc 3 tương đương: $p^3 - 4pq + 9r \ge 0 \implies r \ge \frac{p(4q - p^2)}{9}$.
• Bất đẳng thức Chebyshev: Hai dãy đơn điệu cùng chiều $\implies n \sum a_i b_i \ge (\sum a_i)(\sum b_i)$.
Phương Pháp Phân Tích SOS (Sum of Squares)
• Dạng tổng quát SOS: Biến đổi biểu thức đối xứng về dạng $S = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2$.
• Tiêu chuẩn dương SOS: Nếu $S_a, S_b, S_c \ge 0$ thì $S \ge 0$. Mở rộng: Nếu $S_b \ge 0, S_b + S_a \ge 0, S_b + S_c \ge 0$ và $S_a S_b + S_b S_c + S_c S_a \ge 0$ khi giả sử $a \ge b \ge c$.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 03 (Chuẩn VMO)
1. Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c = 3$. Giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{a}{1+b^2} + \frac{b}{1+c^2} + \frac{c}{1+a^2}$ là:
2. Cho $a, b, c \ge 0$ có $a+b+c = 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $abc$ theo bất đẳng thức AM-GM là:
3. Trong phương pháp SOS, biểu thức $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ được phân tích thành:
4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (Sedrakyan / Schwarz cộng mẫu) phát biểu rằng với $x_i > 0$:
Dãy Số Nguyên, Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính & Bổ Đề Stolz-Cesàro
Dãy số trong đề thi VMO thường tích hợp giữa giải tích và số học: giới hạn dãy quy nạp vô tỷ, tốc độ hội tụ tiệm cận qua bổ đề Stolz-Cesàro, phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng và tính chất nguyên / tuần hoàn chu kỳ modulo $m$.
Bổ Đề Stolz-Cesàro (Quy Tắc L'Hôpital Cho Dãy Số)
• Định lý Stolz-Cesàro (dạng $\infty/\infty$): Cho dãy $(y_n)$ tăng ngặt ra $+\infty$. Nếu tồn tại $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = L$ thì $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = L$.
• Ứng dụng: Tìm giới hạn của dãy dạng $x_{n+1} = x_n + x_n^{-\alpha}$ để xác định số mũ tiệm cận $\lim \frac{x_n}{n^p}$.
Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Bậc 2
• Phương trình: $x_{n+2} + p x_{n+1} + q x_n = 0$. Phương trình đặc trưng: $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$.
• Hai nghiệm thực phân biệt $\lambda_1 \neq \lambda_2$: $x_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n$.
• Nghiệm kép $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$: $x_n = (c_1 + c_2 n)\lambda^n$.
• Nghiệm phức liên hợp $r(\cos \theta \pm i \sin \theta)$: $x_n = r^n(c_1 \cos n\theta + c_2 \sin n\theta)$.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 04 (Chuẩn VMO)
1. Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n}$ với mọi $n \ge 1$. Giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{\sqrt{n}}$ bằng:
2. Cho dãy Fibonacci $F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Công thức Binet biểu diễn số hạng tổng quát $F_n$ là:
3. Nếu phương trình đặc trưng của một dãy sai phân bậc 2 có nghiệm kép $\lambda = 3$, số hạng tổng quát của dãy có dạng:
4. Dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $0 < x_n < 1$ và $x_{n+1}(1 - x_n) > 1/4$ với mọi $n \ge 1$. Kết luận nào sau đây đúng?
Đồng Dư Thức, Căn Nguyên Thủy, Định Lý Thặng Dư Trung Hoa & Ký Hiệu Legendre
Số học Olympic đòi hỏi kiến thức sâu sắc về cấu trúc nhóm $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$, cấp của phần tử (order), căn nguyên thủy (primitive roots), luật tương hỗ chính phương Gauss (Quadratic Reciprocity) và hệ thặng dư đầy đủ qua Định lý Thặng Dư Trung Hoa (CRT).
Cấp Của Phần Tử & Căn Nguyên Thủy
• Cấp của số nguyên $a$ modulo $m$: Số nguyên dương $d$ nhỏ nhất sao cho $a^d \equiv 1 \pmod m$, ký hiệu $\text{ord}_m(a)$. Tính chất then chốt: $a^k \equiv 1 \pmod m \iff \text{ord}_m(a) \mid k$.
• Căn nguyên thủy: $g$ là căn nguyên thủy modulo $m$ nếu $\text{ord}_m(g) = \phi(m)$. Căn nguyên thủy chỉ tồn tại khi $m = 2, 4, p^k, 2p^k$ ($p$ là số nguyên tố lẻ). Số lượng căn nguyên thủy bằng $\phi(\phi(m))$.
Ký Hiệu Legendre & Luật Tương Hỗ Chính Phương Gauss
• Ký hiệu Legendre $\left(\frac{a}{p}\right)$: Bằng $1$ nếu $a$ là thặng dư chính phương modulo $p$, bằng $-1$ nếu không, bằng $0$ nếu $p \mid a$. Tiêu chuẩn Euler: $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$.
• Luật tương hỗ chính phương: Với hai số nguyên tố lẻ phân biệt $p, q$:
$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 05 (Chuẩn VMO)
1. Số lượng căn nguyên thủy modulo $17$ là bao nhiêu?
2. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $p = 4k + 3$. Khi đó ký hiệu Legendre $\left(\frac{-1}{p}\right)$ bằng:
3. Tìm số dư của $3^{100}$ khi chia cho $13$:
4. Định lý Thặng Dư Trung Hoa (CRT) đảm bảo hệ phương trình $x \equiv a_i \pmod{m_i}$ ($i=1..k$) có nghiệm duy nhất modulo $M = m_1 m_2...m_k$ khi và chỉ khi:
Phương Trình Diophante, Bổ Đề Nâng Lũy Thừa (LTE) & Phương Pháp Viète Jumping
Các bài toán số học phân loại cao nhất ở VMO và IMO là phương trình nghiệm nguyên (Diophantine Equations). Hai "vũ khí tối thượng" giải quyết dạng này là Bổ đề nâng lũy thừa LTE (Lifting The Exponent Lemma) và kỹ thuật bước nhảy Viète (Viète Jumping / Hurwitz descent).
Bổ Đề Nâng Lũy Thừa (Lifting The Exponent - LTE)
• Ký hiệu $v_p(x)$ là số mũ cao nhất của số nguyên tố $p$ chia hết $x$.
• Bổ đề LTE cho $p$ lẻ: Nếu $p \mid (x - y)$ và $p \nmid x, p \nmid y$ thì:
$$v_p(x^n - y^n) = v_p(x - y) + v_p(n)$$
• Trường hợp $x^n + y^n$ với $n$ lẻ: $v_p(x^n + y^n) = v_p(x + y) + v_p(n)$ khi $p \mid (x+y)$.
• Trường hợp $p = 2$: Nếu $4 \mid (x - y)$ thì $v_2(x^n - y^n) = v_2(x - y) + v_2(n)$.
Kỹ Thuật Viète Jumping (Bước Nhảy Viète)
• Giả sử tồn tại nghiệm nguyên dương $(a, b)$ không thỏa mãn tính chất, chọn nghiệm có tổng $a + b$ nhỏ nhất (cực hạn).
• Cố định một biến coi phương trình là phương trình bậc hai đối với biến còn lại: $x^2 - B x + C = 0$.
• Theo định lý Viète, nghiệm còn lại $x_2 = B - x_1 = C / x_1$ sẽ tạo ra một cặp nghiệm nguyên dương mới có tổng nhỏ hơn, mâu thuẫn với tính cực hạn!
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 06 (Chuẩn VMO)
1. Cho $p = 3$, tính $v_3(5^{18} - 2^{18})$ sử dụng bổ đề LTE:
2. Bài toán IMO 1988 nổi tiếng: Cho $a, b$ nguyên dương sao cho $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ là số nguyên. Khẳng định đúng là:
3. Phương trình Pell cơ bản có dạng $x^2 - d y^2 = 1$ với $d$ nguyên dương không chính phương. Tập nghiệm nguyên dương $(x_n, y_n)$ của phương trình:
4. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $2^n - 1$ chia hết cho $n$:
Hàng Điểm Điều Hòa, Chùm Điều Hòa, Định Lý Ceva - Menelaus & Điểm Miquel
Hình học phẳng trong đề thi VMO đòi hỏi kỹ năng xạ ảnh cơ bản: biến đổi tỉ số kép, chùm đường thẳng điều hòa, tứ giác toàn phần và định lý Menelaus / Ceva dạng lượng giác kết hợp tính chất cấu hình điểm Miquel.
Hàng Điểm Điều Hòa & Tứ Giác Toàn Phần
• Tỉ số kép: $(A, B, C, D) = \frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} : \frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$. Khi $(A, B, C, D) = -1$, bốn điểm tạo thành một hàng điểm điều hòa.
• Hệ thức Newton: $I$ là trung điểm $AB \iff \overline{IC} \cdot \overline{ID} = IA^2$. Hệ thức Descartes: $\frac{2}{\overline{AB}} = \frac{1}{\overline{AC}} + \frac{1}{\overline{AD}}$.
• Định lý tứ giác toàn phần: Giao điểm hai đường chéo và giao điểm các cạnh đối tạo ra các hàng điểm điều hòa kinh điển.
Điểm Miquel & Định Lý Ceva Dạng Lượng Giác
• Định lý Miquel: Cho tam giác $ABC$, lấy $D, E, F$ lần lượt trên $BC, CA, AB$. Khi đó ba đường tròn ngoại tiếp $(AEF), (BFD), (CDE)$ đồng quy tại một điểm $M$ gọi là điểm Miquel.
• Ceva sin: $AD, BE, CF$ đồng quy $\iff \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} \cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} \cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF} = 1$.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 07 (Chuẩn VMO)
1. Cho hàng điểm điều hòa $(A, B, C, D) = -1$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Hệ thức nào sau đây luôn đúng (Hệ thức Newton)?
2. Cho tam giác $ABC$, các đường thẳng nối đỉnh với điểm tiếp xúc của đường tròn bàng tiếp với cạnh đối diện đồng quy tại điểm nào?
3. Cho tứ giác toàn phần $ABCD.EF$. Đường thẳng đi qua trung điểm của ba đường chéo được gọi là:
4. Định lý Menelaus áp dụng cho tam giác $ABC$ với cát tuyến cắt 3 đường thẳng chứa 3 cạnh tại $X, Y, Z$ có tích tỉ số đại số bằng:
Phương Tích, Trục Đẳng Phương, Cực - Đối Cực & Phép Nghịch Đảo
Các bài hình khó nhất tại VMO giải quyết bằng công cụ giải tích hình học và biến hình: Phương tích (Power of a point), trục đẳng phương, tâm đẳng phương, đối cực với đường tròn (Pole and Polar) và phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường thẳng.
Phương Tích & Trục Đẳng Phương
• Phương tích: $\mathcal{P}_{M/(O, R)} = d^2 - R^2 = \overline{MA} \cdot \overline{MB}$.
• Trục đẳng phương: Tập hợp các điểm có cùng phương tích tới hai đường tròn không đồng tâm là một đường thẳng vuông góc với đoạn nối tâm $O_1 O_2$.
• Tâm đẳng phương: Trục đẳng phương của 3 đường tròn có các tâm không thẳng hàng đồng quy tại 1 điểm duy nhất.
Lý Thuyết Cực & Đối Cực (Poles and Polars)
• Đường đối cực của điểm $P$ đối với $(O, R)$: Đường thẳng vuông góc $OP$ tại $H$ thỏa mãn $\overline{OP} \cdot \overline{OH} = R^2$.
• Định lý La Hire: Điểm $A$ thuộc đường đối cực của $B \iff B$ thuộc đường đối cực của $A$.
• Ứng dụng: Chứng minh thẳng hàng, đồng quy và tính vuông góc một cách thuần túy không cần tính toán tọa độ phức tạp.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 08 (Chuẩn VMO)
1. Hai đường tròn $(O_1, R_1)$ và $(O_2, R_2)$ trực giao (vuông góc tại giao điểm) khi và chỉ khi:
2. Định lý La Hire trong lý thuyết cực - đối cực phát biểu rằng:
3. Phép nghịch đảo tâm $O$ phương tích $k > 0$ biến một đường thẳng không đi qua $O$ thành:
4. Tâm đẳng phương của 3 đường tròn là điểm có tính chất:
Nguyên Lý Dirichlet Nâng Cao, Bất Biến - Đơn Biến & Trò Chơi Tổ Hợp
Tổ hợp VMO kiểm tra tư duy logic trừu tượng thông qua nguyên lý Dirichlet mở rộng, phương pháp đếm bằng hai cách (Double Counting), nguyên lý cực hạn và các đại lượng bất biến (Invariants) trong trò chơi tổ hợp hữu hạn.
Bất Biến & Đơn Biến (Invariants & Monovariants)
• Đại lượng bất biến: Đại lượng không đổi qua mỗi bước thao tác (tính chẵn lẻ, phần dư modulo, số nghịch thế, hàm thế năng).
• Đơn biến: Đại lượng luôn tăng ngặt (hoặc giảm ngặt) nhưng bị chặn $\implies$ quá trình thao tác bắt buộc phải dừng lại sau hữu hạn bước.
• Ứng dụng: Chứng minh không thể đạt được trạng thái đích hoặc hệ thống tự động đạt trạng thái cân bằng.
Trò Chơi Tổ Hợp & Chiến Thuật Thắng
• Trò chơi Nim: Trò chơi bốc sỏi nổi tiếng. Trạng thái thua (P-position) khi tổng Nim (XOR tổng nhị phân của số sỏi các đống) bằng 0: $n_1 \oplus n_2 \oplus ... \oplus n_k = 0$.
• Định lý Sprague-Grundy: Mọi trò chơi tổ hợp không thiên vị (Impartial game) đều tương đương với một đống sỏi Nim với giá trị hàm Grundy $G(x) = \text{mex}\{G(y) : y \in \text{Moves}(x)\}$.
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 09 (Chuẩn VMO)
1. Trong trò chơi Nim với 3 đống sỏi có số lượng lần lượt là 3, 4, 5 viên sỏi. Tổng Nim ($3 \oplus 4 \oplus 5$) bằng bao nhiêu?
2. Cho 2026 số nguyên được viết trên bảng. Mỗi bước chọn hai số $a, b$ xóa đi và thay bằng số $a + b - 1$. Sau 2025 bước trên bảng còn lại 1 số. Số này phụ thuộc vào:
3. Nguyên lý Dirichlet mạnh: Nếu phân chia $n$ đồ vật vào $k$ cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa không ít hơn:
4. Số tập con của tập hợp $S = \{1, 2, ..., n\}$ có số phần tử là số chẵn bằng:
Lý Thuyết Đồ Thị, Định Lý Turán, Định Lý Ramsey & Bổ Đề Sperner
Đồ thị và hình học tổ hợp là phân môn đỉnh cao trong cấu trúc đề VMO những năm gần đây: công thức Euler cho đồ thị phẳng $V - E + F = 2$, định lý Turán về đồ thị không chứa đồ thị con đầy đủ $K_r$, số Ramsey $R(s, t)$ và ứng dụng bổ đề Sperner.
Định Lý Turán & Định Lý Mantel
• Định lý Mantel: Đồ thị đơn vô hướng $n$ đỉnh không chứa tam giác $K_3$ có tối đa $\lfloor n^2 / 4 \rfloor$ cạnh. Dấu bằng đạt được khi đồ thị là đồ thị hai phía đầy đủ $K_{\lfloor n/2 \rfloor, \lceil n/2 \rceil}$.
• Định lý Turán: Đồ thị $n$ đỉnh không chứa đồ thị con đầy đủ $K_{r+1}$ có số cạnh tối đa bằng số cạnh của đồ thị Turán $T(n, r)$ (đồ thị $r$-phía đầy đủ cân bằng):
$$e(G) \le \left(1 - \frac{1}{r}\right) \frac{n^2}{2}$$
Số Ramsey & Công Thức Euler Đồ Thị Phẳng
• Số Ramsey $R(s, t)$: Số đỉnh $N$ nhỏ nhất sao cho mọi cách tô màu 2 màu (đỏ/xanh) các cạnh của $K_N$ đều chứa $K_s$ đỏ hoặc $K_t$ xanh. Ví dụ kinh điển: $R(3, 3) = 6$.
• Công thức Euler: Với đồ thị phẳng liên thông: $V - E + F = 2$. Hệ quả: $E \le 3V - 6$ (với $V \ge 3$), chứng minh $K_5$ và $K_{3,3}$ không phải đồ thị phẳng (Định lý Kuratowski).
Bài Tập Tự Luyện Chuyên Đề 10 (Chuẩn VMO)
1. Số cạnh tối đa của một đồ thị đơn vô hướng có $10$ đỉnh mà không chứa tam giác $K_3$ (theo định lý Mantel) là:
2. Giá trị của số Ramsey $R(3, 3)$ là:
3. Một đồ thị phẳng liên thông có $12$ đỉnh và các mặt đều là tam giác. Số cạnh và số mặt của đồ thị lần lượt là:
4. Định lý Kuratowski khẳng định một đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồ thị con đồng phôi với:
Sẵn Sàng Chinh Phục Giải Thưởng VMO & Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Quốc Tế!
Chúc mừng bạn đã hoàn thành trọn vẹn 10 chuyên đề then chốt: Đa thức nghiệm thực - phức, Phương trình hàm, Bất đẳng thức Schur & SOS, Giới hạn dãy số Stolz-Cesàro, Căn nguyên thủy, Phương trình Diophante LTE, Hàng điểm điều hòa, Cực và đối cực, Bất biến tổ hợp và Lý thuyết đồ thị Turán.