CHƯƠNG TRÌNH GDPT 2018 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Toán Học Lớp 12

Hệ thống toàn diện 6 chương, 19 bài học chuẩn mực theo SGK Toán 12 mới: Ứng dụng đạo hàm, Vectơ và Oxyz, Thống kê ghép nhóm, Nguyên hàm - Tích phân và Xác suất có điều kiện (Bayes).

Chương 1 Chương 2 Chương 3 Chương 4 Chương 5 Chương 6
Học kỳ 1 • Tập 1

Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Tính đơn điệu, cực trị, GTLN - GTNN, tiệm cận (đứng, ngang, xiên), sơ đồ khảo sát 3 dạng hàm số và các bài toán thực tiễn tối ưu hoá.

Giải tích 12 4 tiết
#bai-1

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Mục tiêu bài học: Nắm vững định lý về mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm bậc nhất và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; khái niệm cực đại, cực tiểu; các quy tắc và phương pháp tìm điểm cực trị.

1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng (gọi chung là khoảng $K$).

Hàm số đồng biến (tăng) trên $K$:

$\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên $K$.

Hàm số nghịch biến (giảm) trên $K$:

$\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên $K$.

Định lý về dấu của đạo hàm:
  • Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$.
  • Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
  • Mở rộng: Nếu $f'(x) \ge 0$ (hoặc $f'(x) \le 0$) với mọi $x \in K$ và đẳng thức $f'(x) = 0$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

2. Cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp $D$ và $x_0 \in D$.

  • $x_0$ gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng $(a; b) \subset D$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại (hoặc cực đại). Điểm $M(x_0; f(x_0))$ là điểm cực đại của đồ thị.
  • $x_0$ gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng $(a; b) \subset D$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu (hoặc cực tiểu). Điểm $M(x_0; f(x_0))$ là điểm cực tiểu của đồ thị.
Dấu hiệu đổi dấu (Quy tắc I): Giả sử $f(x)$ liên tục trên khoảng chứa $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng lân cận:
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi qua $x_0$ (theo chiều tăng dần của $x$) thì $x_0$ là điểm cực đại.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
• Nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x_0$ thì $x_0$ không là điểm cực trị.

3. Ví dụ minh họa và bài tập mẫu

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

Lời giải:

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x - 9$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.

• Bảng xét dấu $y'$: Trong khoảng $(-1; 3)$ thì $y' < 0$; trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ thì $y' > 0$.

• Kết luận:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 3)$.

- Điểm cực đại của hàm số là $x = -1$, giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = f(-1) = 10$.

- Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 3$, giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = f(3) = -22$.

Ví dụ 2: Xét hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Tìm các khoảng đơn điệu.

TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Đạo hàm $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \; \forall x \ne -1$.

Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Hàm số không có cực trị.

Ghi nhớ trọng tâm

Cực trị xảy ra tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định và đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua điểm đó. Không được kết luận hàm số đồng biến trên hợp của hai khoảng (ví dụ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ là sai, phải dùng từ 'và').

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Cho hàm số $y = -x^3 + 3x - 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số?

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có bảng xét dấu đạo hàm: $f'(x)$ đổi dấu qua các điểm $x = -2$ (từ âm sang dương), $x = 0$ (từ dương sang âm) và $x = 3$ (từ âm sang dương). Số điểm cực trị của hàm số là:

Giải tích 12 3 tiết
#bai-2

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mục tiêu bài học: Nắm vững định nghĩa GTLN (Max), GTNN (Min) của hàm số; quy trình tìm Max, Min trên đoạn [a; b] và trên một khoảng bất kì thông qua bảng biến thiên.

1. Khái niệm GTLN và GTNN của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp $D$.

Giá trị lớn nhất ($M = \max_{x \in D} f(x)$):
  • $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$.
  • Tồn tại ít nhất một điểm $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$.
Giá trị nhỏ nhất ($m = \min_{x \in D} f(x)$):
  • $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$.
  • Tồn tại ít nhất một điểm $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$.

Chú ý: Nếu không tìm được điểm $x_0 \in D$ thỏa mãn dấu bằng thì hàm số không có Max (hoặc Min) trên tập $D$.

2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN

Quy trình tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a; b]$:
  1. Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc khoảng $(a; b)$ làm cho $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
  2. Bước 2: Tính các giá trị ở hai đầu mút và các điểm dừng: $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)$.
  3. Bước 3: So sánh các giá trị tính được. Giá trị lớn nhất trong số đó là $\max_{[a; b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất là $\min_{[a; b]} f(x)$.
Tìm GTLN, GTNN trên khoảng $(a; b)$ hoặc $[a; +\infty)$:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó, tính các giới hạn ở vô cực hoặc tại các điểm gián đoạn. Từ bảng biến thiên đọc ra điểm cao nhất (Max) và điểm thấp nhất (Min).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$.

• Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 2]$. Đạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.

• Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.

• Trong khoảng $(0; 2)$, chỉ có nghiệm $x = 1$.

• Tính các giá trị: $f(0) = 3$, $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 2$, $f(2) = 2^4 - 2(2^2) + 3 = 11$.

• Kết luận: $\max_{[0; 2]} f(x) = 11$ (đạt tại $x = 2$); $\min_{[0; 2]} f(x) = 2$ (đạt tại $x = 1$).

Ghi nhớ trọng tâm

Định lý Weierstrass đảm bảo mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] đều đạt GTLN và GTNN. Trên khoảng mở (a; b), nếu hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì đó chính là điểm đạt GTLN (GTNN).

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 4]$ bằng:

Giải tích 12 3 tiết
#bai-3

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Mục tiêu bài học: Nhận biết và xác định được đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thông qua giới hạn.

1. Tiệm cận đứng và Tiệm cận ngang

Đường tiệm cận đứng (TCĐ):

Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$, hoặc $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$.

(Thường là nghiệm mẫu số làm phân thức không triệt tiêu)

Đường tiệm cận ngang (TCN):

Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.

(Xét giới hạn khi x tiến ra vô cực)

2. Đường tiệm cận xiên (Nội dung trọng tâm GDPT 2018)

Định nghĩa tiệm cận xiên:

Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) là đường tiệm cận xiên của đồ thị $y = f(x)$ nếu:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$

Công thức tìm $a$ và $b$:

• $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$

• $b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$

Trường hợp đồ thị hàm phân thức bậc hai / bậc nhất: $y = \frac{a x^2 + b x + c}{p x + q}$ ($a, p \ne 0$)

Chia đa thức ta được dạng $y = mx + n + \frac{r}{px + q}$. Khi đó đường thẳng $y = mx + n$ chính là tiệm cận xiên vì $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{r}{px + q} = 0$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$.

• $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 3}{x + 1} = 2 \Rightarrow$ Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

• $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$ và $\lim_{x \to -1^-} y = +\infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 2}$.

Chia tử thức cho mẫu thức: $\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 2} = x - 1 - \frac{1}{x - 2}$.

Vì $\lim_{x \to \pm\infty} \left[y - (x - 1)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{1}{x-2}\right) = 0$, nên đường thẳng $y = x - 1$ là tiệm cận xiên.

Ghi nhớ trọng tâm

Hàm bậc nhất/bậc nhất y=(ax+b)/(cx+d) luôn có 1 TCĐ (x = -d/c) và 1 TCN (y = a/c). Hàm phân thức bậc hai/bậc nhất y=(ax²+bx+c)/(dx+e) có 1 TCĐ và 1 tiệm cận xiên. Nếu đồ thị có TCN thì không có tiệm cận xiên ở cùng hướng vô cực đó.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 - 5x + 3}{x - 1}$ (với $x \ne 1$) là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$ là:

Giải tích 12 4 tiết
#bai-4

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Mục tiêu bài học: Thực hiện thành thạo sơ đồ khảo sát hàm số; nhận dạng hình dáng đồ thị, tâm đối xứng và trục đối xứng của 3 dạng hàm số chuẩn: bậc ba, phân thức bậc nhất/bậc nhất, phân thức bậc hai/bậc nhất.

1. Sơ đồ tổng quát khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

1. Tập xác định: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

2. Sự biến thiên:

  • Tính đạo hàm $y'$. Tìm các điểm $x$ mà tại đó $y' = 0$ hoặc không xác định.
  • Xét dấu $y'$ để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
  • Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn một bên tại các điểm gián đoạn và xác định các đường tiệm cận (nếu có).
  • Lập bảng biến thiên tổng hợp.

3. Vẽ đồ thị:

  • Xác định giao điểm với trục tung $Oy$ ($x=0$) và trục hoành $Ox$ ($y=0$).
  • Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) và vẽ các đường tiệm cận làm khung chuẩn.
  • Vẽ đồ thị nối mượt mà qua các điểm đặc biệt.

2. Ba dạng hàm số trọng tâm trong chương trình GDPT 2018

Dạng 1: Hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)

• $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Đồ thị có 2 cực trị khi $\Delta' > 0$ hoặc không có cực trị khi $\Delta' \le 0$.

• Đồ thị luôn nhận điểm uốn $I(x_0; y_0)$ làm tâm đối xứng, với $x_0$ là nghiệm của phương trình $y'' = 0 \Leftrightarrow x_0 = -\frac{b}{3a}$.

Dạng 2: Phân thức bậc nhất / bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$)

• $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$. Luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

• Có 1 TCĐ $x = -\frac{d}{c}$ và 1 TCN $y = \frac{a}{c}$. Giao điểm của 2 đường tiệm cận $I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)$ là tâm đối xứng của hypebol.

Dạng 3: Phân thức bậc hai / bậc nhất $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a, p \ne 0$, đa thức không rút gọn)

• Đồ thị có 1 tiệm cận đứng $x = -\frac{q}{p}$ và 1 tiệm cận xiên $y = mx + n$.

• Giao điểm $I$ của đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên chính là tâm đối xứng của đồ thị.

3. Ứng dụng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y = m$.

Ví dụ thực tế: Với đồ thị hàm bậc ba có $y_{\text{CĐ}} = 2$ và $y_{\text{CT}} = -2$:
• Nếu $m > 2$ hoặc $m < -2$: Phương trình $f(x) = m$ có 1 nghiệm duy nhất.
• Nếu $m = 2$ hoặc $m = -2$: Phương trình có 2 nghiệm (1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn).
• Nếu $-2 < m < 2$: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ghi nhớ trọng tâm

Đồ thị hàm số bậc ba luôn có tâm đối xứng là điểm uốn I(x₀; y₀) với x₀ = -b/(3a). Đồ thị phân thức bậc nhất/bậc nhất và bậc hai/bậc nhất luôn có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$ có tâm đối xứng là điểm nào sau đây?

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có hệ số $a > 0$ và có 2 điểm cực trị. Hình dạng nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị sẽ:

Giải tích 12 2 tiết
#bai-5

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn

Mục tiêu bài học: Vận dụng đạo hàm, GTLN và GTNN để giải các bài toán tối ưu hoá thực tiễn trong hình học, vật lý, kỹ thuật và quản lý kinh tế - tài chính.

1. Quy trình giải bài toán tối ưu hóa thực tiễn

  1. Bước 1 (Xác định biến số và đại lượng tối ưu): Chọn đại lượng cần tối ưu (diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận, thời gian...) ký hiệu là $f$. Chọn biến độc lập phù hợp $x$ và xác định điều kiện thực tế (tập xác định) của biến: $x \in (a; b)$.
  2. Bước 2 (Xây dựng hàm số): Thiết lập công thức biểu diễn $f$ theo biến $x$: $y = f(x)$.
  3. Bước 3 (Tìm giá trị tối ưu): Tính đạo hàm $f'(x)$, giải phương trình $f'(x) = 0$, lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trên miền xác định để kết luận điểm đạt GTLN hoặc GTNN.
  4. Bước 4 (Kết luận): Trả lời theo đúng câu hỏi và đơn vị của đề bài thực tế.

2. Các mô hình tối ưu điển hình

Mô hình hình học & bao bì sản phẩm:

• Cắt góc làm hộp: Từ tấm tôn hình vuông cạnh $a$, cắt ở 4 góc 4 hình vuông cạnh $x$ gập lại thành hộp không nắp có thể tích $V(x) = x(a - 2x)^2$. Thể tích lớn nhất khi $x = \frac{a}{6}$.

• Lon nước hình trụ tốn ít kim loại nhất: Với thể tích $V_0$ cố định, diện tích toàn phần $S_{\text{tp}} = 2\pi r h + 2\pi r^2$ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy: $h = 2r$.

Mô hình kinh tế & kinh doanh:

• Hàm chi phí $C(x)$ & Chi phí biên: $C'(x)$ xấp xỉ chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm thứ $x+1$.

• Hàm doanh thu: $R(x) = x \cdot p(x)$, trong đó $p(x)$ là hàm cầu (giá bán theo sản lượng).

• Hàm lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x)$. Lợi nhuận đạt tối đa khi đạo hàm $P'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$ (Doanh thu biên bằng chi phí biên).

3. Ví dụ phân tích chi tiết

Ví dụ: Một người thợ muốn làm một chiếc bể chứa nước bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy hình vuông và có thể tích $V = 4\text{ m}^3$. Hỏi cạnh đáy $x$ bằng bao nhiêu mét để tốn ít vật liệu nhất (diện tích tôn nhỏ nhất)?

• Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy ($x > 0$) và $h$ là chiều cao bể ($h > 0$).

• Thể tích: $V = x^2 h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{x^2}$.

• Diện tích tôn làm bể không nắp gồm 1 đáy và 4 mặt bên: $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x\left(\frac{4}{x^2}\right) = x^2 + \frac{16}{x}$.

• Đạo hàm: $S'(x) = 2x - \frac{16}{x^2} = \frac{2(x^3 - 8)}{x^2}$.

• Cho $S'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2\text{ m}$.

• Bảng biến thiên cho thấy $S(x)$ giảm trên $(0; 2)$ và tăng trên $(2; +\infty)$, do đó đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 2\text{ m}$. Chiều cao tương ứng $h = \frac{4}{2^2} = 1\text{ m}$.

Ghi nhớ trọng tâm

Bài toán thực tế đòi hỏi luôn đặt điều kiện chặt chẽ cho biến (x > 0, x < a/2...). Tận dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc đạo hàm để tìm cực trị toàn cục trên khoảng xác định.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm chi phí tổng cộng là $C(x) = 0{,}01x^2 + 20x + 5000$ (nghìn đồng) và giá bán mỗi sản phẩm cố định là 50 nghìn đồng. Để lợi nhuận lớn nhất thì công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Một hộp không nắp được làm từ tấm bìa hình vuông cạnh $a = 24\text{ cm}$ bằng cách cắt đi 4 hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc rồi gập lại. Thể tích hộp đạt cực đại khi $x$ bằng:

Học kỳ 1 • Tập 1

Chương II: Vectơ và hệ toạ độ trong không gian

Vectơ không gian, quy tắc hình hộp, điều kiện đồng phẳng, hệ toạ độ Oxyz, tích vô hướng và tích có hướng cùng ứng dụng.

Hình học không gian 3 tiết
#bai-6

Bài 6: Vectơ trong không gian

Mục tiêu bài học: Nắm vững định nghĩa vectơ trong không gian, các phép cộng, trừ, nhân vectơ với số thực; quy tắc hình hộp; khái niệm sự đồng phẳng của ba vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

1. Khái niệm và các quy tắc phép toán vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Các định nghĩa về hướng, độ dài, hai vectơ cùng phương, bằng nhau, vectơ đối và vectơ không được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.

Quy tắc 3 điểm:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Quy tắc hình bình hành:

Với hình bình hành $ABCD$:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Quy tắc hình hộp:

Với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$

Quy tắc trung điểm và trọng tâm:
• $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$ (với mọi điểm $O$).
• $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$.
• $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD \Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OG} \Leftrightarrow \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$.

2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Khái niệm & Định lý:

Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.

Định lí: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương. Khi đó ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một cặp số thực $(m; n)$ sao cho:

$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$

3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian được định nghĩa:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$

• Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

• Cosin của góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Ghi nhớ trọng tâm

Quy tắc hình hộp cho phép biểu diễn đường chéo xuất phát từ một đỉnh bằng tổng của ba vectơ cạnh xuất phát từ đỉnh đó: AB + AD + AA' = AC'. Tích vô hướng là công cụ mạnh mẽ để chứng minh tính vuông góc trong hình không gian.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tổng vectơ $\vec{AB} + \vec{B'C'} + \vec{DD'}$ bằng vectơ nào sau đây?

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Quy tắc hình hộp trong không gian khẳng định tổng ba vectơ $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$ bằng vectơ nào?

Hình học không gian 2 tiết
#bai-7

Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Mục tiêu bài học: Hiểu cấu tạo của hệ toạ độ Oxyz; xác định toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ; toạ độ các điểm đặc biệt (hình chiếu, đối xứng).

1. Định nghĩa hệ toạ độ Oxyz

Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc trong không gian $Oxyz$ gồm ba trục $Ox$ (trục hoành), $Oy$ (trục tung), $Oz$ (trục cao) đôi một vuông góc tại gốc $O$.

• Các vectơ đơn vị trên các trục tương ứng là $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ thỏa mãn:

$\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = \vec{k}^2 = 1 \quad \text{và} \quad \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$

• Ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc: Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$, mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y = 0$.

2. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm

Toạ độ của vectơ:

Mỗi vectơ $\vec{u}$ trong không gian được phân tích duy nhất:

$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \Leftrightarrow \vec{u} = (x; y; z)$

Số $x$ là hoành độ, $y$ là tung độ, $z$ là cao độ của $\vec{u}$.

Toạ độ của điểm:

Toạ độ của điểm $M$ chính là toạ độ của bán kính vectơ $\vec{OM}$:

$M(x; y; z) \Leftrightarrow \vec{OM} = (x; y; z)$

Gốc toạ độ: $O(0; 0; 0)$.

Hình chiếu của điểm $M(x_0; y_0; z_0)$:
  • Lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $M_1(x_0; y_0; 0)$; lên $(Oyz)$ là $M_2(0; y_0; z_0)$; lên $(Oxz)$ là $M_3(x_0; 0; z_0)$.
  • Lên trục $Ox$ là $(x_0; 0; 0)$; lên trục $Oy$ là $(0; y_0; 0)$; lên trục $Oz$ là $(0; 0; z_0)$.
Ghi nhớ trọng tâm

Chiếu điểm M lên mặt phẳng toạ độ nào thì giữ nguyên toạ độ tương ứng với tên mặt phẳng đó và cho toạ độ còn lại bằng 0. Tương tự khi chiếu lên trục toạ độ, chỉ giữ lại toạ độ của trục đó.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2; -3; 5)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có toạ độ là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2; -3; 5)$ lên mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ có toạ độ là:

Hình học không gian 3 tiết
#bai-8

Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Mục tiêu bài học: Nắm vững biểu thức toạ độ của các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số; tích vô hướng; tính khoảng cách, góc; tích có hướng và ứng dụng tính diện tích, thể tích.

1. Biểu thức toạ độ của các phép toán đại số

Cho hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$, $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ và số thực $k \in \mathbb{R}$:

• Tổng: $\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$

• Hiệu: $\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$

• Tích với số thực: $k\vec{u} = (kx_1; ky_1; kz_1)$

• Hai vectơ bằng nhau: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow x_1 = x_2, y_1 = y_2, z_1 = z_2$

• Hai vectơ cùng phương ($\\vec{v} \ne \vec{0}$): $\vec{u} = k\vec{v} \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$ (với điều kiện mẫu khác 0).

Toạ độ vectơ $\vec{AB}$ và trung điểm, trọng tâm:
• $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
• Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
• Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

2. Tích vô hướng, độ dài và góc

• Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

• Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$

• Khoảng cách giữa hai điểm $A, B$: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

• Hai vectơ vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

• Góc giữa hai vectơ: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

3. Tích có hướng của hai vectơ (Nội dung quan trọng)

Định nghĩa & Công thức toạ độ:

Tích có hướng của $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ là một vectơ kí hiệu $[ ec{u}, \vec{v}]$ xác định bởi:

$\left[\vec{u}, \vec{v}\right] = \left( \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \right) = (y_1 z_2 - z_1 y_2; \; z_1 x_2 - x_1 z_2; \; x_1 y_2 - y_1 x_2)$

• Tính chất: $[\vec{u}, \vec{v}] \perp \vec{u}$ và $[\vec{u}, \vec{v}] \perp \vec{v}$.

• Diện tích tam giác $ABC$: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} |[\vec{AB}, \vec{AC}]|$

• Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$: $V = |[\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'}|$

• Thể tích tứ diện $ABCD$: $V_{ABCD} = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD}|$

Ghi nhớ trọng tâm

Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. Tích có hướng là công cụ tính diện tích tam giác và thể tích tứ diện cực kỳ nhanh chóng và chính xác.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 1)$. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2; -1)$ và $\vec{v} = (2; -1; 3)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng:

Học kỳ 1 • Tập 1

Chương III: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị (Q1, Q2, Q3), phương sai s² và độ lệch chuẩn s cho mẫu ghép nhóm.

Thống kê 12 2 tiết
#bai-9

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Mục tiêu bài học: Biết cách xác định khoảng biến thiên, tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm; hiểu ý nghĩa đo độ phân tán của mẫu dữ liệu.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm và Khoảng biến thiên

Mẫu số liệu ghép nhóm được cho dưới dạng các nửa khoảng $[a_i; a_{i+1})$ với tần số $m_i$. Cỡ mẫu $n = \sum m_i$. Giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ là $c_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$.

Khoảng biến thiên ($R$):

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm chứa giá trị lớn nhất và đầu mút trái của nhóm chứa giá trị nhỏ nhất:

R = a_k - a_1

Ý nghĩa: Đo độ dàn trải của toàn bộ mẫu số liệu. $R$ càng lớn thì mức độ chênh lệch giữa các số liệu càng cao. Tuy nhiên $R$ rất nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ bất thường.

2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị gồm ba giá trị $Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất), $Q_2$ (trung vị $M_e$), $Q_3$ (tứ phân vị thứ ba) chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau.

Công thức tìm $Q_1$:

Giả sử nhóm $[u_m; u_{m+1})$ chứa tứ phân vị thứ nhất (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}$).

$Q_1 = u_m + \frac{\frac{n}{4} - C}{n_m} \cdot (u_{m+1} - u_m)$

(với $C$ là tần số tích lũy của các nhóm trước nhóm chứa $Q_1$, $n_m$ là tần số của nhóm chứa $Q_1$)

Công thức tìm $Q_3$:

Giả sử nhóm $[u_k; u_{k+1})$ chứa tứ phân vị thứ ba (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}$).

$Q_3 = u_k + \frac{\frac{3n}{4} - C'}{n_k} \cdot (u_{k+1} - u_k)$

Khoảng tứ phân vị:

$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$

Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán của 50% số liệu ở phần giữa của mẫu. $\Delta_Q$ không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ bất thường.

3. Ví dụ minh họa tính toán

Ví dụ: Thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày của 40 học sinh (phút):
Thời gian (phút) [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50)
Số học sinh ($m_i$) 5 12 15 8

• Cỡ mẫu $n = 40$. Khoảng biến thiên $R = 50 - 10 = 40$ phút.

• Tìm $Q_1$: $\frac{n}{4} = 10$. Tần số tích lũy: nhóm 1 có 5; nhóm 2 có $5+12=17 \ge 10$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[20; 30)$.

$\Rightarrow Q_1 = 20 + \frac{10 - 5}{12} \cdot (30 - 20) = 20 + \frac{50}{12} \approx 24{,}17$ phút.

• Tìm $Q_3$: $\frac{3n}{4} = 30$. Tần số tích lũy: nhóm 3 có $17+15=32 \ge 30$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[30; 40)$.

$\Rightarrow Q_3 = 30 + \frac{30 - 17}{15} \cdot (40 - 30) = 30 + \frac{130}{15} \approx 38{,}67$ phút.

• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \approx 38{,}67 - 24{,}17 = 14{,}5$ phút.

Ghi nhớ trọng tâm

Khoảng biến thiên R đo toàn bộ khoảng cách từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ - Q₁ đo độ dàn trải của 50% số liệu trung tâm và miễn nhiễm với các giá trị đột biến.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Ưu điểm nổi bật nhất của khoảng tứ phân vị (Δ_Q) so với khoảng biến thiên (R) là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng công thức nào sau đây?

Thống kê 12 2 tiết
#bai-10

Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Mục tiêu bài học: Thành thạo công thức tính số trung bình, phương sai s² và độ lệch chuẩn s của mẫu số liệu ghép nhóm; biết vận dụng để so sánh độ ổn định và rủi ro.

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_i; a_{i+1})$ với tần số $m_i$ và giá trị đại diện tương ứng là $c_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$.

Công thức tính số trung bình:

$\overline{x} = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2 + ... + m_k c_k}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k m_i c_i$

(với $n = m_1 + m_2 + ... + m_k$ là cỡ mẫu)

2. Phương sai và Độ lệch chuẩn

Phương sai ($s^2$):

Là trung bình cộng của bình phương các độ lệch so với số trung bình:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k m_i (c_i - \overline{x})^2$

Công thức rút gọn: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k m_i c_i^2 - (\overline{x})^2$.

Độ lệch chuẩn ($s$):

Căn bậc hai số học của phương sai:

$s = \sqrt{s^2}$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với đại lượng nghiên cứu.

Ý nghĩa thực tiễn:
  • Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu xung quanh giá trị trung bình.
  • Phương sai $s^2$ (hoặc $s$) càng nhỏ chứng tỏ các số liệu càng tập trung gần số trung bình (sản phẩm đồng đều hơn, điểm thi ít chênh lệch hơn, cổ phiếu ít rủi ro hơn).
Ghi nhớ trọng tâm

Độ lệch chuẩn s = √(s²) cùng đơn vị đo với số liệu. Khi so sánh hai tập dữ liệu có cùng số trung bình, tập nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán ít hơn, dữ liệu đồng đều và ổn định hơn.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Hai xạ thủ A và B cùng bắn 30 phát đạn. Điểm trung bình của xạ thủ A là 8,5 điểm với độ lệch chuẩn s_A = 0,6; điểm trung bình của xạ thủ B là 8,5 điểm với độ lệch chuẩn s_B = 1,2. Kết luận nào sau đây chính xác nhất?

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Khi so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và số trung bình xấp xỉ nhau, mẫu số liệu nào có độ biến động, bấp bênh lớn hơn?

Học kỳ 2 • Tập 2

Chương IV: Nguyên hàm và tích phân

Định nghĩa, bảng nguyên hàm cơ bản - mở rộng, tích phân Newton - Leibniz, phương pháp đổi biến số, từng phần và ứng dụng tính diện tích, thể tích khối tròn xoay.

Giải tích 12 4 tiết
#bai-11

Bài 11: Nguyên hàm

Mục tiêu bài học: Nắm vững định nghĩa và tính chất của nguyên hàm; thuộc lòng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản; vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần.

1. Khái niệm và tính chất của nguyên hàm

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng trên $\mathbb{R}$.

Định nghĩa:

Hàm số $F(x)$ gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$.

Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ được kí hiệu là:

$\int f(x)dx = F(x) + C \quad (C \in \mathbb{R})$

Các tính chất cơ bản:

1. $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ và $\int f'(x)dx = f(x) + C$

2. $\int k f(x)dx = k \int f(x)dx$ (với $k \ne 0$ là hằng số)

3. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

2. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản

Nguyên hàm cơ bản Mở rộng với biến $(ax + b)$ ($a \ne 0$)
$\int 0 \, dx = C$ $\int k \, dx = kx + C$
$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C \; (\alpha \ne -1)$ $\int (ax+b)^\alpha dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C$
$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$
$\int e^x dx = e^x + C$ $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$
$\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$

3. Hai phương pháp tính nguyên hàm

1. Đổi biến số:

Nếu $\int f(u)du = F(u) + C$ và $u = u(x)$ thì:

$\int f(u(x)) u'(x)dx = F(u(x)) + C$

Ví dụ: $\int 2x e^{x^2} dx = \int e^u du = e^{x^2} + C$ (với $u = x^2$).

2. Nguyên hàm từng phần:

$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$

Thứ tự ưu tiên đặt $u$:
"Nhất Lô (Logarithm), Nhì Đa (Đa thức), Tam Lượng (Lượng giác), Tứ Mũ (Hàm mũ)". Đại lượng còn lại là $dv$.

Ghi nhớ trọng tâm

Nhớ quy tắc đổi biến vi phân: du = u'(x)dx. Khi tính nguyên hàm từng phần, tuân thủ nghiêm ngặt câu thần chú ưu tiên đặt u: 'Nhất lô - Nhì đa - Tam lượng - Tứ mũ'.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + \sin x$ là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{2x} + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:

Giải tích 12 4 tiết
#bai-12

Bài 12: Tích phân

Mục tiêu bài học: Nắm vững định nghĩa tích phân Newton - Leibniz và các tính chất cơ bản; áp dụng thành thạo phương pháp đổi biến số (nhớ đổi cận) và tích phân từng phần.

1. Định nghĩa tích phân và Ý nghĩa hình học

Công thức Newton - Leibniz:

Cho $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a; b]$. Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$:

$\int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số $f(x) \ge 0$ liên tục trên $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x)dx$ chính là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$.

2. Các tính chất quan trọng của tích phân

1. $\int_a^a f(x)dx = 0$

2. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$

3. $\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$ (với $k$ là hằng số)

4. $\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

5. (Chèn cận): $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ (với mọi $c \in [a; b]$)

6. Tích phân không phụ thuộc vào biến số: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$

3. Hai phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số:

Tính $\int_a^b f(u(x)) u'(x)dx$:

  • Đặt $u = u(x) \Rightarrow du = u'(x)dx$.
  • Bắt buộc đổi cận: $x = a \Rightarrow u = u(a)$; $x = b \Rightarrow u = u(b)$.
  • Chuyển về tích phân theo biến $u$: $\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$.
Phương pháp từng phần:

$\int_a^b u \, dv = (u \cdot v)\Big|_a^b - \int_a^b v \, du$

Cũng áp dụng nguyên tắc thứ tự ưu tiên đặt $u$ giống như phần nguyên hàm: Logarithm > Đa thức > Lượng giác > Mũ.

Ghi nhớ trọng tâm

Khác với nguyên hàm, tích phân là một giá trị số cụ thể và không phụ thuộc vào tên gọi của biến. Khi đổi biến số trong tích phân, điều tối quan trọng là không bao giờ được quên bước đổi cận!

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Nếu $\int_1^3 f(x)dx = 5$ và $\int_2^3 f(x)dx = 2$ thì giá trị của $\int_1^2 f(x)dx$ bằng:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Giá trị của tích phân $I = \int_0^1 (3x^2 + 2x) dx$ bằng:

Giải tích 12 3 tiết
#bai-13

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Mục tiêu bài học: Vận dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (được giới hạn bởi một hoặc hai đường cong) và thể tích của vật thể tròn xoay quanh trục toạ độ.

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục $Ox$:

Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$:

$S = \int_a^b |f(x)|dx$

Cách tính: Phá dấu trị tuyệt đối bằng cách xét dấu của $f(x)$ trên từng khoảng con.

Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong:

Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$:

$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx$

Nếu đề bài chưa cho cận $a, b$, ta giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$ để tìm cận.

2. Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

Thể tích vật thể bất kì:

Vật thể nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = a$ và $x = b$. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x \in [a; b]$ thu được thiết diện có diện tích là $S(x)$:

$V = \int_a^b S(x)dx$

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$:

Hình thang cong giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$, $x = a$, $x = b$ khi quay quanh trục hoành $Ox$ tạo thành khối tròn xoay có thể tích:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = \sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng $x = 4$ xung quanh trục $Ox$.

• Phương trình hoành độ giao điểm: $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Cận tích phân từ $a = 0$ đến $b = 4$.

• Áp dụng công thức: $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x \, dx$.

• Tính toán: $V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$.

Ghi nhớ trọng tâm

Công thức tính diện tích hình phẳng luôn có dấu giá trị tuyệt đối |f(x) - g(x)| để đảm bảo diện tích luôn dương. Thể tích khối tròn xoay quanh Ox luôn có hằng số π ở phía trước và hàm số được bình phương [f(x)]².

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 - 4$ và trục hoành $Ox$ bằng:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức:

Học kỳ 2 • Tập 2

Chương V: Phương pháp toạ độ trong không gian

Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, công thức tính góc (đường-đường, đường-mặt, mặt-mặt) và phương trình mặt cầu.

Hình học Oxyz 3 tiết
#bai-14

Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Mục tiêu bài học: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng; viết phương trình tổng quát của mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

1. Vectơ pháp tuyến và Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến (VTPT):

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của nó vuông góc với $(\alpha)$. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ là cặp vectơ chỉ phương không cùng phương song song hoặc nằm trên $(\alpha)$ thì một VTPT của $(\alpha)$ là $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

Phương trình mặt phẳng:

• Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

• Phương trình tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A^2 + B^2 + C^2 > 0$).

• Phương trình theo đoạn chắn: Mặt phẳng cắt các trục toạ độ tại $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ ($a, b, c \ne 0$) có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

2. Khoảng cách và Vị trí tương đối

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$:

$d(M_0, (\alpha)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Vị trí tương đối giữa $(\alpha_1)$ và $(\alpha_2)$:

• Song song: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}$

• Trùng nhau: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

• Vuông góc: $\vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \Leftrightarrow A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$

Ghi nhớ trọng tâm

Muốn viết phương trình mặt phẳng cần tìm 1 điểm đi qua và 1 vectơ pháp tuyến. Nếu biết 2 vectơ chỉ phương không cùng phương thì tích có hướng của chúng chính là vectơ pháp tuyến.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua ba điểm $A(2; 0; 0)$, $B(0; -3; 0)$, $C(0; 0; 4)$ có phương trình là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Mặt phẳng đi qua điểm $M(1; 2; 3)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2; -1; 4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

Hình học Oxyz 4 tiết
#bai-15

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Mục tiêu bài học: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng; xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Vectơ chỉ phương (VTCP):

Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ gọi là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Phương trình tham số:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$:

$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
Phương trình chính tắc:

Nếu $a, b, c$ đều khác 0, khử tham số $t$ ta được:

$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng và đường thẳng với mặt phẳng

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$:

• Cùng phương: Nếu $\vec{u}_1$ cùng phương $\vec{u}_2$ thì $d_1 \parallel d_2$ (khi không chung điểm) hoặc $d_1 \equiv d_2$ (khi chung điểm).

• Không cùng phương: Xét hệ phương trình tìm giao điểm hoặc tích hỗn tạp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}$. Nếu bằng 0 thì cắt nhau; nếu khác 0 thì chéo nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$: Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình $(P)$ để giải tìm $t$. Có 1 nghiệm $t \Rightarrow$ Cắt nhau; vô nghiệm $\Rightarrow d \parallel (P)$; vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$.

Ghi nhớ trọng tâm

Đường thẳng được xác định duy nhất khi biết 1 điểm và 1 VTCP. Muốn tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, chuyển đường thẳng về dạng tham số rồi thế vào phương trình mặt phẳng.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1; -2; 3)$ và có VTCP $\vec{u} = (2; -1; 4)$ có phương trình tham số là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 4}{5}$?

Hình học Oxyz 2 tiết
#bai-16

Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Mục tiêu bài học: Vận dụng biểu thức toạ độ của tích vô hướng để tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

1. Ba công thức tính góc cơ bản

1. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$:

Cho $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$ lần lượt là VTCP của $d_1$ và $d_2$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$):

$\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$

2. Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$:

Cho $\vec{u} = (a; b; c)$ là VTCP của $d$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ là VTPT của $(\alpha)$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$):

$\sin(d, (\alpha)) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Chú ý: Tính góc giữa đường và mặt thì dùng hàm SIN (vì góc giữa đường và mặt phụ với góc giữa VTCP và VTPT).

3. Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha_1)$ và $(\alpha_2)$:

Cho $\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)$ là VTPT của hai mặt phẳng:

$\cos((\alpha_1), (\alpha_2)) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Ghi nhớ trọng tâm

Góc trong hình học không gian luôn nằm trong đoạn [0°; 90°], do đó tử số luôn có dấu giá trị tuyệt đối. Lưu ý đặc biệt: Góc giữa hai đường hoặc hai mặt dùng COS, riêng góc giữa đường và mặt dùng SIN.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Góc giữa đường thẳng d có VTCP $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và mặt phẳng (Oxy) bằng:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Góc $\varphi$ giữa đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}$ được tính theo công thức lượng giác nào?

Hình học Oxyz 3 tiết
#bai-17

Bài 17: Phương trình mặt cầu

Mục tiêu bài học: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính; xác định tâm và bán kính từ phương trình tổng quát; xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

1. Phương trình mặt cầu

Dạng chính tắc:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$ ($R > 0$):

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

Dạng khai triển:

Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:

a^2 + b^2 + c^2 - d > 0

Khi đó tâm là $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Đặt khoảng cách $h = d(I, (\alpha))$:

• $h > R$: Mặt phẳng $(\alpha)$ không cắt mặt cầu $(S)$ (không có điểm chung).

• $h = R$: Mặt phẳng $(\alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $H$ (tiếp điểm). Khi đó $(\alpha)$ là mặt phẳng tiếp diện và $IH \perp (\alpha)$.

• $h < R$: Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r = \sqrt{R^2 - h^2}$. Nếu $h = 0$ (mặt phẳng đi qua tâm $I$) thì giao tuyến là đường tròn lớn bán kính $R$.

Ghi nhớ trọng tâm

Hệ số trước x², y², z² trong phương trình tổng quát phải bằng 1 (nếu chưa bằng 1 thì chia cả 2 vế trước khi lấy toạ độ tâm). Khi mặt phẳng cắt mặt cầu, tam giác vuông nối tâm I, tiếp điểm H và điểm trên đường tròn giao tuyến thỏa mãn: R² = h² + r².

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$ có toạ độ tâm I và bán kính R lần lượt là:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 25$ có toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là:

Học kỳ 2 • Tập 2

Chương VI: Xác suất có điều kiện

Khái niệm xác suất có điều kiện P(A|B), công thức nhân xác suất, hệ đầy đủ, công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes trong chẩn đoán thực tế.

Xác suất 12 3 tiết
#bai-18

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Mục tiêu bài học: Nắm vững định nghĩa và tính chất xác suất có điều kiện P(A|B); vận dụng công thức nhân xác suất để giải các bài toán xác suất thực tế.

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Định nghĩa:

Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của $A$ với điều kiện $B$, kí hiệu là $P(A|B)$:

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì việc $B$ xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của $A$: $P(A|B) = P(A)$.

2. Công thức nhân xác suất và Sơ đồ hình cây

Công thức nhân xác suất:

Với hai biến cố bất kì $A$ và $B$:

$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Sơ đồ hình cây (Tree Diagram): Rất trực quan khi giải các bài toán gồm nhiều giai đoạn liên tiếp. Mỗi nhánh của cây biểu diễn một biến cố có điều kiện với xác suất tương ứng đặt trên nhánh đó. Xác suất của biến cố kết thúc một chuỗi nhánh bằng tích các xác suất dọc theo đường đi nhánh đó.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một hộp có 10 viên bi gồm 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút lần lượt không hoàn lại 2 viên bi. Tính xác suất để viên thứ hai màu đỏ biết rằng viên thứ nhất màu đỏ.

• Gọi $A$ là biến cố: "Viên thứ nhất màu đỏ". Ta có $P(A) = \frac{6}{10} = 0{,}6$.

• Gọi $B$ là biến cố: "Viên thứ hai màu đỏ".

• Khi biến cố $A$ đã xảy ra, trong hộp còn lại 9 viên bi gồm 5 bi đỏ và 4 bi xanh.

• Xác suất viên thứ hai màu đỏ khi biết viên thứ nhất đã là màu đỏ là: $P(B|A) = \frac{5}{9}$.

• Xác suất để cả hai viên đều màu đỏ là: $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$.

Ghi nhớ trọng tâm

P(A|B) là xác suất của A trong không gian mẫu đã được thu hẹp về không gian B. Luôn phân biệt rõ ràng giữa P(AB) (cả hai cùng xảy ra) và P(A|B) (A xảy ra khi biết B đã xảy ra).

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Biết rằng số chấm xuất hiện là số chẵn. Xác suất để số chấm xuất hiện là số chia hết cho 3 bằng:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Cho hai biến cố $A$ và $B$ có $P(B) = 0.5$ và $P(A \cap B) = 0.2$. Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ bằng:

Xác suất 12 3 tiết
#bai-19

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Mục tiêu bài học: Hiểu hệ biến cố đầy đủ; vận dụng thành thạo công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm và giải các bài toán thực tiễn.

1. Công thức xác suất toàn phần

Hệ đầy đủ các biến cố:

Hệ các biến cố $B_1, B_2, ..., B_n$ được gọi là một hệ đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc ($B_i \cap B_j = \emptyset$ với $i \ne j$) và tổng của chúng bằng không gian mẫu: $B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega$. (Trường hợp đơn giản nhất: $B$ và biến cố đối $\overline{B}$ luôn tạo thành một hệ đầy đủ).

Công thức xác suất toàn phần:

Với hệ đầy đủ $B_1, B_2, ..., B_n$ có $P(B_i) > 0$ và biến cố $A$ bất kì:

$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + ... + P(B_n)P(A|B_n)$

2. Công thức Bayes và Ứng dụng chẩn đoán

Công thức Bayes:

Cho $B_1, B_2, ..., B_n$ là một hệ đầy đủ và $A$ là biến cố với $P(A) > 0$. Với mỗi $k \in \{1, 2, ..., n\}$:

$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$

Ý nghĩa: $P(B_k)$ gọi là xác suất tiền định (tiên nghiệm). Sau khi kiểm chứng biến cố $A$ đã xảy ra, công thức Bayes cập nhật lại niềm tin của chúng ta thành $P(B_k|A)$ gọi là xác suất hậu định (hậu nghiệm). Được ứng dụng đặc biệt quan trọng trong xét nghiệm y khoa (độ nhạy, độ đặc hiệu), lọc thư rác và trí tuệ nhân tạo.

3. Ví dụ kinh điển trong Y tế

Ví dụ: Tỉ lệ mắc bệnh X trong một cộng đồng là $1\%$. Một bộ kit xét nghiệm có độ chính xác như sau: Nếu người có bệnh thì kết quả dương tính là $95\%$; nếu người không có bệnh thì vẫn có xác suất dương tính giả là $2\%$. Một người đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính. Hỏi xác suất người này thực sự bị bệnh X là bao nhiêu?

• Gọi $B$: "Người đó bị bệnh X" $\Rightarrow P(B) = 0{,}01$; $\overline{B}$: "Người đó không bị bệnh" $\Rightarrow P(\overline{B}) = 0{,}99$.

• Gọi $A$: "Kết quả xét nghiệm dương tính". Đề cho: $P(A|B) = 0{,}95$; $P(A|\overline{B}) = 0{,}02$.

• Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293$.

• Theo công thức Bayes, xác suất thực sự bị bệnh khi xét nghiệm dương tính là:

$P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} = \frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 32{,}4\%$.

(Dù test khá chính xác, nhưng vì bệnh hiếm nên khả năng dương tính giả cao hơn bệnh thật!)

Ghi nhớ trọng tâm

Công thức xác suất toàn phần tính xác suất của biến cố A bằng cách chia nhỏ theo các trường hợp của hệ đầy đủ. Công thức Bayes là công thức đảo ngược nguyên nhân - kết quả: Biết kết quả A đã xảy ra, tính xác suất kết quả đó bắt nguồn từ nguyên nhân B_k.

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố Chọn 1 đáp án đúng

Hệ biến cố {B, B̄} luôn là một hệ đầy đủ của không gian mẫu Ω vì:

Câu hỏi trắc nghiệm củng cố (Câu 2) Chọn 1 đáp án đúng

Cho $\{B_1, B_2\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố với $P(B_1) = 0.6, P(B_2) = 0.4$. Biết $P(A|B_1) = 0.1$ và $P(A|B_2) = 0.2$. Theo công thức xác suất toàn phần, $P(A)$ bằng: